Nierówności
Zadanie 13, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\sin x+\sin(2x)-\cos x=\frac{1}{2}.\]
Odpowiedź
\[x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Po zastosowaniu wzoru \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) lewa strona równania daje rozkład
\[\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)(2\cos x+1)=0.\]
Rozwiązujemy więc równania \(\sin x=\frac{1}{2}\) oraz \(\cos x=-\frac{1}{2}\), otrzymując cztery rodziny rozwiązań podane w odpowiedzi.
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania w postaci \(\sin x+2\sin x\cos x-\cos x=\frac{1}{2}\).
**2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań trygonometrycznych: \(\sin x=\frac{1}{2}\) lub \(\cos x=-\frac{1}{2}\).
**3 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin x=\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) ALBO rozwiązanie równania \(\cos x=-\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) oraz \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), oraz \(\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), oraz \(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].
