Równania i nierówności
Zadanie 9, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom rozszerzony
Grupa \(4\) kobiet i \(4\) mężczyzn, w tym jedno małżeństwo, wybrała się na pieszą wycieczkę. Na wąskiej ścieżce musieli iść gęsiego tzn. jedno za drugim. Zakładamy, że wszystkie możliwe ustawienia tych osób są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed mężem. Sprawdź, czy to prawdopodobieństwo jest mniejsze od \(0{,}001\).
Odpowiedź
\(P(A)=\dfrac{3!\cdot3!}{8!}=\dfrac{36}{40320}=\dfrac{1}{1120}\approx0{,}00089\), więc tak: to prawdopodobieństwo jest mniejsze od \(0{,}001\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wszystkie ustawienia \(8\) osób w rzędzie są jednakowo prawdopodobne, więc stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa: \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\). Zdarzeniami elementarnymi są ustawienia (kolejności) ośmiu rozróżnialnych osób, czyli permutacje zbioru ośmioelementowego.
**Krok \(2\).** Liczymy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
\[|\Omega|=8!=40\,320.\]
**Krok \(3\).** Rozpisujemy warunek zdarzenia \(A\). Skoro jako pierwsze idą kobiety, to miejsca \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) zajmują cztery kobiety, a miejsca \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) — czterej mężczyźni.
**Krok \(4\).** Teraz warunek, że żona idzie bezpośrednio przed mężem. Wewnątrz bloku kobiet za każdą kobietą stoi kobieta, a wewnątrz bloku mężczyzn przed każdym mężczyzną stoi mężczyzna. Jedyna para sąsiednich miejsc, na której kobieta poprzedza mężczyznę, to miejsca \(4\) i \(5\). Zatem żona musi stać na miejscu \(4\), a mąż na miejscu \(5\) — i jest to jedyna możliwość.
**Krok \(5\).** Pozostałe osoby ustawiamy dowolnie: trzy pozostałe kobiety na miejscach \(1\), \(2\), \(3\) na \(3!=6\) sposobów, a trzej pozostali mężczyźni na miejscach \(6\), \(7\), \(8\) również na \(3!=6\) sposobów. Z reguły mnożenia
\[|A|=3!\cdot3!=6\cdot6=36.\]
**Krok \(6\).** Obliczamy prawdopodobieństwo:
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{36}{40\,320}=\frac{1}{1120}.\]
**Krok \(7\).** Porównujemy z liczbą \(0{,}001=\frac{1}{1000}\). Obie liczby mają licznik \(1\), więc mniejsza jest ta o większym mianowniku. Ponieważ \(1120\gt1000\), mamy
\[P(A)=\frac{1}{1120}\lt\frac{1}{1000}=0{,}001.\]
(Przybliżenie dziesiętne: \(P(A)\approx0{,}00089\)).
**Uwaga.** Kuszące jest mnożenie liczby ustawień przez liczbę możliwych pozycji pary małżeńskiej — to typowy błąd. Przy warunku, że najpierw idą wszystkie kobiety, para żona i mąż w tej kolejności może stać wyłącznie na miejscach \(4\) i \(5\), więc żadnego dodatkowego czynnika nie ma. Zwróć też uwagę, że porównanie z \(0{,}001\) jest osobną częścią polecenia — trzeba je wykonać i wyraźnie sformułować wniosek.
**Odpowiedź.** \(P(A)=\dfrac{3!\cdot3!}{8!}=\dfrac{36}{40320}=\dfrac{1}{1120}\approx0{,}00089\), więc tak: to prawdopodobieństwo jest mniejsze od \(0{,}001\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**9.1. (1 pkt)** – obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: \(\Omega=8!\).
**9.2. (1 pkt)** – obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\), że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed mężem: \(A=3!\cdot 3!=36\).
Wystarczy zapis \(A=3!\cdot 3!\) lub \(A=36\).
**9.3. (1 pkt)** – obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac{3!\cdot 3!}{8!}=\frac{1}{1120}\).
**9.4. (1 pkt)** – porównanie otrzymanego prawdopodobieństwa z \(0{,}001\), np.: \(P(A)=\frac{1}{1120}<\frac{1}{1000}\) lub \(P(A)\approx 0{,}0009<0{,}001\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
