Zadanie 10 – matura z matematyki czerwiec 2026, poziom rozszerzony

\[x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Podstawmy \(t=\sin x-\cos x\). Wtedy \[t^{2}=1-2\sin x\cos x=1-\sin(2x),\qquad \sin(2x)=1-t^{2}.\] Ponieważ \(t=\sqrt2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\), zmienna \(t\) przebiega przedział \(\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]\). Równanie przyjmuje postać \[t+1-t^{2}=\tfrac12,\qquad t^{2}-t-\tfrac12=0,\qquad t=\frac{1\pm\sqrt3}{2}.\] Obie wartości należą do \(\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]\), bo \(\tfrac{1+\sqrt3}{2}\approx1{,}37\) i \(\tfrac{1-\sqrt3}{2}\approx-0{,}37\). Wracamy do zmiennej \(x\): \[\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}=\sin\tfrac{5\pi}{12},\] skąd \(x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{5\pi}{12}+2k\pi\) lub \(x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+2k\pi\), czyli \(x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\). Analogicznie \[\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}=-\sin\tfrac{\pi}{12},\] skąd \(x-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{12}+2k\pi\) lub \(x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{13\pi}{12}+2k\pi\), czyli \(x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi\). **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\), \(x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\), \(x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\) lub \(x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania w postaci \(\sin x+2\sin x\cos x-\cos x=\frac{1}{2}\). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań trygonometrycznych: \(\sin x=\frac{1}{2}\) lub \(\cos x=-\frac{1}{2}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin x=\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) ALBO rozwiązanie równania \(\cos x=-\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) oraz \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), oraz \(\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), oraz \(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.