Zadanie 10 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

\[x=\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

**Krok \(1\).** Metoda: rozbijamy \(2\sin(2x)\) na \(\sin(2x)+\sin(2x)\), żeby móc zastosować wzór na różnicę sinusów i wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Zapisujemy \[\sin(6x)-2\sin(2x)=\bigl[\sin(6x)-\sin(2x)\bigr]-\sin(2x).\] **Krok \(3\).** Ze wzoru \(\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\) dla \(\alpha=6x\), \(\beta=2x\): \[\sin(6x)-\sin(2x)=2\cos(4x)\sin(2x).\] **Krok \(4\).** Równanie przyjmuje postać \[2\cos(4x)\sin(2x)-\sin(2x)=0,\qquad \sin(2x)\bigl(2\cos(4x)-1\bigr)=0,\] więc \(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\). **Krok \(5\).** Rozwiązujemy \(\sin(2x)=0\): \[2x=k\pi,\qquad x=\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\): \[4x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad 4x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\] \[x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie trzy rodziny rozwiązań — żadna nie zawiera się w pozostałych. **Uwaga.** Zapis \(2\sin(2x)\) to podwojona wartość sinusa, a nie \(\sin(4x)\) — mylenie tych dwóch rzeczy jest tu najczęstszym błędem. Do tego samego wyniku prowadzi wzór na sinus potrojonego kąta: \(\sin(3\cdot 2x)=3\sin(2x)-4\sin^{3}(2x)\), po którym równanie przyjmuje postać \(\sin(2x)\bigl(1-4\sin^{2}(2x)\bigr)=0\). **Odpowiedź.** \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\), lub \(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci \(\sin(4x)\cos(2x)+\cos(4x)\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu I) ALBO zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci \(2\cos(4x)\sin(2x)-\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci \(-4\sin^{3}(2x)+3\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.: \(\sin(2x)=0\) lub \(\cos^{2}(2x)=\frac{3}{4}\), \(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(2x)=0\) lub \(2\cos(4x)-1=0\), \(\sin(2x)=0\) lub \(4\sin^{2}(2x)-1=0\). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.: • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\cos^{2}(2x)=\frac{3}{4}\)) oraz \(x=\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=0\)); • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)); • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\)) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\)); • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\sin(2x)=-\frac{1}{2}\) lub \(\sin(2x)=\frac{1}{2}\)) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=-\frac{1}{2}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: \(\frac{\pi k}{2}\) oraz \(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). Uwagi: 1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań z kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania \(\sin(2x)=0\)). 1. b) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy, które nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\) i rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), gdzie funkcja trygonometryczna \(f\) nie ma miejsc zerowych lub równanie trygonometryczne \(f(x)=0\) ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, oraz rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), otrzymując \(x=\frac{\pi k}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej punktacji. 3. Jeżeli zdający przyjmie \(u=2x\) i rozwiąże równanie \(\sin(3u)-2\sin u=0\) (lub równanie \(-4\sin^{3}u+3\sin u-2\sin u=0\)) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 3 punkty.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].