Zadanie 7 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

\[x=\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Korzystamy ze wzoru na sinus potrojonego argumentu \(\sin 3t=3\sin t-4\sin^{3}t\) dla \(t=2x\): \[\sin(6x)-2\sin(2x)=3\sin(2x)-4\sin^{3}(2x)-2\sin(2x)=\sin(2x)\left(1-4\sin^{2}(2x)\right).\] Równanie jest więc równoważne alternatywie \[\sin(2x)=0\qquad\text{lub}\qquad \sin^{2}(2x)=\tfrac14.\] Z pierwszego równania \(2x=k\pi\), czyli \(x=\dfrac{k\pi}{2}\). Z drugiego \(\sin(2x)=\tfrac12\) lub \(\sin(2x)=-\tfrac12\), skąd \[2x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \lor\ 2x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\ \lor\ 2x=-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \lor\ 2x=-\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi.\] Po podzieleniu przez \(2\) obie serie z dodatnim znakiem łączą się w \(x=\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{k\pi}{2}\), a obie z ujemnym w \(x=-\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{k\pi}{2}\). **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{k\pi}{2}\) lub \(x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\), lub \(x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: \(\frac{\pi k}{2}\) oraz \(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.: - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos^{2}(2x)=\tfrac{3}{4}\right)\) oraz \(x=\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=0\)) - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos(2x)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{lub}\ \cos(2x)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos(2x)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)) - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos(4x)=\tfrac{1}{2}\right)\) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\cos(4x)=\tfrac{1}{2}\)) - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \sin(2x)=-\tfrac{1}{2}\ \text{lub}\ \sin(2x)=\tfrac{1}{2}\right)\) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=-\tfrac{1}{2}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.: \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos^{2}(2x)=\tfrac{3}{4},\] \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos(2x)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{lub}\ \cos(2x)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\] \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ 2\cos(4x)-1=0,\] \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ 4\sin^{2}(2x)-1=0.\] **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci \(\sin(4x)\cos(2x)+\cos(4x)\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu I) ALBO – zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci \(2\cos(4x)\sin(2x)-\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO – zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci \(-4\sin^{3}(2x)+3\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań z kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania \(\sin(2x)=0\)). b) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy, które nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\) i rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), gdzie funkcja trygonometryczna \(f\) nie ma miejsc zerowych lub równanie trygonometryczne \(f(x)=0\) ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, oraz rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), otrzymując \(x=\frac{\pi k}{2}\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej punktacji. 3. Jeżeli zdający przyjmie \(u=2x\) i rozwiąże równanie \(\sin(3u)-2\sin u=0\) (lub równanie \(-4\sin^{3}u+3\sin u-2\sin u=0\)) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje \(3\) punkty.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.