Zadanie 6 – matura z matematyki czerwiec 2025, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{6}\right\}.\]

Sumę skrajnych cosinusów zwijamy wzorem na sumę cosinusów, a środkowy składnik zapisujemy wzorem na cosinus podwojonego argumentu: \[\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos x,\qquad 2\cos^{2}(3x)=1+\cos(6x).\] Jednak wygodniej jest od razu użyć \(2\cos^{2}(3x)=2\cos(3x)\cdot\cos(3x)\). Wtedy \[\cos(2x)+2\cos^{2}(3x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos x+2\cos^{2}(3x)=2\cos(3x)\left(\cos x+\cos(3x)\right).\] Ponownie stosując wzór na sumę cosinusów, \(\cos x+\cos(3x)=2\cos(2x)\cos x\), otrzymujemy postać iloczynową \[4\cos(3x)\cos(2x)\cos x=0.\] Równanie sprowadza się więc do alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\), lub \(\cos x=0\): \[x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{3},\qquad x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2},\qquad x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.\] W przedziale \([0,\pi]\) pierwsza seria daje \(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6}\), druga \(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\), a trzecia \(\tfrac{\pi}{2}\) (już wypisane). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np.: \(x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{3}\cdot k\) lub \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x=-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}\cdot k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos x+\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(2x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(4\cos^2x-2=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(2-4\sin^2x=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\). **2 pkt** – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest \(\cos(3x)=0\), np.: \(\cos(3x)=0\) lub \(2\cos(2x)\cos x=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \((4\cos^2x-2)\cos x=0\), ALBO – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\) lub \(\cos x=0\). **1 pkt** – przekształcenie równoważne równania do postaci \(2\cos(3x)\cos x+2\cos^2(3x)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.