Zadanie 9 – matura z matematyki czerwiec 2025, poziom rozszerzony

Równanie sprowadza się do \(2\cos(3x)(\cos x+\cos(3x))=0\). W przedziale \([0,\pi]\) otrzymujemy \(x\in\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\}\).

**Krok \(1\).** Metoda: w sumie \(\cos(2x)+\cos(4x)\) rozpoznajemy wzór na sumę cosinusów \[\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\] który pozwoli wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Dla \(\alpha=2x\), \(\beta=4x\) otrzymujemy \[\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos(-x)=2\cos(3x)\cos x,\] bo cosinus jest funkcją parzystą. **Krok \(3\).** Równanie przyjmuje postać \[2\cos(3x)\cos x+2\cos^{2}(3x)=0,\qquad 2\cos(3x)\bigl(\cos x+\cos(3x)\bigr)=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\). **Krok \(4\).** Rozwiązujemy \(\cos(3x)=0\): \[3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.\] W przedziale \([0,\pi]\) daje to \(x=\frac{\pi}{6}\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{5\pi}{6}\). **Krok \(5\).** Do drugiego równania stosujemy ten sam wzór na sumę cosinusów: \[\cos x+\cos(3x)=2\cos(2x)\cos x=0.\] **Krok \(6\).** Stąd \(\cos(2x)=0\), czyli \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\), co w \([0,\pi]\) daje \(x=\frac{\pi}{4}\) i \(x=\frac{3\pi}{4}\), albo \(\cos x=0\), czyli \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), co w \([0,\pi]\) daje \(x=\frac{\pi}{2}\). **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby z przedziału \([0,\pi]\), pamiętając, że \(\frac{\pi}{2}\) pojawiło się dwukrotnie. **Uwaga.** Rozwiązania trzeba najpierw wypisać w zbiorze liczb rzeczywistych, a dopiero potem wybrać te, które leżą w \([0,\pi]\) — samo podstawienie \(k=0\) pomija na przykład \(\frac{5\pi}{6}\). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{6}\right\}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np.: \(x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{3}\cdot k\) lub \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x=-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}\cdot k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos x+\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(2x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(4\cos^2x-2=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(2-4\sin^2x=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\). **2 pkt** – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest \(\cos(3x)=0\), np.: \(\cos(3x)=0\) lub \(2\cos(2x)\cos x=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \((4\cos^2x-2)\cos x=0\), ALBO – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\) lub \(\cos x=0\). **1 pkt** – przekształcenie równoważne równania do postaci \(2\cos(3x)\cos x+2\cos^2(3x)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].