Liczby rzeczywiste
Zadanie 17, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=(n+5)^2\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)\]
dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których granica ciągu \((a_n)\) jest równa \(12\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[p=3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozdzielamy składniki:
\[a_n=(p+1)\frac{(n+5)^2}{(n+1)(n+2)}+(2p+2)\frac{(n+5)^2}{(n+2)(n+3)}.\]
Oba ilorazy wielomianów mają granicę \(1\), ponieważ liczniki i mianowniki są stopnia \(2\) i mają ten sam współczynnik wiodący. Zatem
\[\lim_{n\to\infty}a_n=(p+1)+(2p+2)=3p+3.\]
Warunek \(3p+3=12\) daje \(p=3\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**2 pkt** – wyznaczenie granicy ciągu \((a_n)\) w zależności od \(p\)
**1 pkt** – obliczenie jednej z dwóch granic ilorazów występujących we wzorze
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.1 R) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach sumy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych.
