Funkcje
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=x^6-2x^4-x^3+1\]
dla każdego \(x\in\mathbb R\).
**Wykaż, że liczba \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).**
Odpowiedź
Liczba \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(f\) jest wielomianowa, a więc ciągła w \(\mathbb R\). Obliczamy
\[f(0)=1<5,\qquad f(2)=64-32-8+1=25>5.\]
Z własności Darboux funkcja \(f\) przyjmuje w przedziale \((0,2)\) każdą wartość pośrednią między \(1\) i \(25\). Istnieje więc takie \(x_0\in(0,2)\), że \(f(x_0)=5\). To dowodzi, że \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**2 pkt** – uzasadnienie ciągłości funkcji oraz wskazanie argumentów, dla których wartości funkcji są odpowiednio mniejsza i większa od \(5\), wraz z ich obliczeniem
**1 pkt** – uzasadnienie ciągłości i obliczenie jednej z takich wartości albo obliczenie obu wartości leżących po przeciwnych stronach liczby \(5\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1 przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.2R stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego lub przyjmowania wartości pośredniej.
