Nierówności
Zadanie 25, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[\cos 5x>\frac12\]
dla \(-\pi\leq x\leq\pi\).
Odpowiedź
\[x\in\left(-\frac{13\pi}{15},-\frac{11\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac{7\pi}{15},-\frac{5\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac\pi{15},\frac\pi{15}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{15},\frac{7\pi}{15}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{15},\frac{13\pi}{15}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Nierówność \(\cos5x>\frac12\) jest równoważna układowi przedziałów
\[-\frac\pi3+2k\pi<5x<\frac\pi3+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Po podzieleniu przez \(5\) otrzymujemy
\[-\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}<x<\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}.\]
Przecinając te przedziały z \([-\pi,\pi]\), dostajemy
\[\left(-\frac{13\pi}{15},-\frac{11\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac{7\pi}{15},-\frac{5\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac\pi{15},\frac\pi{15}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{15},\frac{7\pi}{15}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{15},\frac{13\pi}{15}\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna suma pięciu przedziałów w zakresie \([-\pi,\pi]\)
**1 pkt** – poprawna rodzina przedziałów \(-\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}<x<\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
6.4. R. Zdający posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych, między innymi przy rozwiązywaniu nierówności typu \(\sin x>a\), \(\cos x\leq a\), \(\tan x>a\).
