Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 24, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdego kąta \(\alpha\) prawdziwa jest równość
\[4\left(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\right)=1+3\cos^2 2\alpha.\]
Odpowiedź
\[4(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=1+3\cos^2 2\alpha.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości
\[a^6+b^6=(a^2+b^2)\big((a^2+b^2)^2-3a^2b^2\big).\]
Ponieważ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), lewa strona jest równa
\[4(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=4(1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha).\]
Z kolei
\[\begin{aligned}1+3\cos^2 2\alpha&=1+3(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)^2\\&=1+3\big((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha\big)\\&=4-12\sin^2\alpha\cos^2\alpha\\&=4(1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha).\end{aligned}\]
Obie strony są więc równe, co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełne przekształcenie obu stron do tej samej postaci
**2 pkt** – poprawne przekształcenie jednej strony i istotny postęp po drugiej stronie
**1 pkt** – poprawne użycie właściwej tożsamości algebraicznej lub wzoru na cosinus kąta podwojonego
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1. R. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^3\) oraz \(a^3\pm b^3\).
6.4. Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi, w szczególności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
