Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 26, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt \(\alpha\) jest kątem między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Kąt \(\beta\) jest kątem przy podstawie ściany bocznej, to znaczy kątem między krawędzią podstawy i krawędzią boczną ostrosłupa (zobacz rysunek). Wykaż, że
\[\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}^2\beta=-1.\]
Odpowiedź
\[\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}^2\beta=-1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, przez \(h\) wysokość ściany bocznej poprowadzoną z wierzchołka podstawy, a przez \(c\) odcinek łączący ten wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości \(h\). Z twierdzenia cosinusów dla przekroju wyznaczającego kąt \(\alpha\):
\[(a\sqrt2)^2=h^2+h^2-2h^2\cos\alpha,\]
stąd
\[\cos\alpha=\frac{h^2-a^2}{h^2}.\]
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(c^2=a^2-h^2\). Ponadto
\[\operatorname{tg}\beta=\frac hc,\qquad \operatorname{tg}^2\beta=\frac{h^2}{c^2}.\]
Zatem
\[\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}^2\beta=\frac{h^2-a^2}{h^2}\cdot\frac{h^2}{c^2}=\frac{h^2-a^2}{c^2}=\frac{-c^2}{c^2}=-1.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełny dowód
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(\cos\alpha\) i \(\operatorname{tg}^2\beta\) z drobną usterką końcową
**1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia cosinusów albo Pitagorasa do właściwego przekroju
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
9.4. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami.
9.1. Zdający rozpoznaje kąty między odcinkami i oblicza ich miary.
9.6. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.
