Nierówności
Zadanie 23, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\sin 5x-\cos 2x+\sin x=0.\]
Odpowiedź
Dla \(k\in\mathbb Z\):
\[x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi{18}+\frac{2k\pi}{3}\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:
\[\sin5x+\sin x=2\sin3x\cos2x.\]
Równanie przyjmuje więc postać
\[2\sin3x\cos2x-\cos2x=0,\]
\[\cos2x(2\sin3x-1)=0.\]
Stąd \(\cos2x=0\) lub \(\sin3x=\frac12\). Pierwsze równanie daje
\[x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}.\]
Z drugiego otrzymujemy
\[3x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad3x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\]
a zatem
\[x=\frac\pi{18}+\frac{2k\pi}{3}\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – podanie wszystkich trzech rodzin rozwiązań
**3 pkt** – poprawne rozłożenie na czynniki i rozwiązanie obu równań z drobną usterką zapisu
**2 pkt** – doprowadzenie do \(\cos2x(2\sin3x-1)=0\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sumę sinusów
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
6.5. R. Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.
6.6. R. Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne.
