Równania i nierówności
Zadanie 15, próbna styczeń 2006, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\frac1{\sin x}+\operatorname{ctg}x+\cos\left(\frac\pi2+x\right)=0.\]
Odpowiedź
\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** \(15\).\(1\). Zapisanie założenia: sin x ≠ \(0\) . \(1\)
**Krok \(2\).** Zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania
**Krok \(3\).** \(15\).\(2\). \(1\) cos x \(1\)
**Krok \(4\).** w postaci: + − sin x = \(0\) .
**Krok \(5\).** \(15\). sin x sin x
**Krok \(6\).** \(15\).\(3\). Przekształcenie równania do postaci: cos x cos x + \(1 = 0\) . \(1\)
**Krok \(7\).** \(15\).\(4\). Zapisanie rozwiązań równania: x = + kπ, k ∈ C . \(1\)
**Krok \(8\).** Zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy
**Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**15.1. (1 pkt)** – zapisanie założenia: \(\sin x\neq 0\).
**15.2. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania w postaci: \(\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x=0\).
**15.3. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci: \(\cos x\left(\cos x+1\right)=0\).
**15.4. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania: \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in C\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
