Ciągi
Zadanie 20, próbna styczeń 2006, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) określony jest rekurencyjnie w następujący sposób:
\[\begin{cases}a_1=2,\\a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}&\text{dla dowolnego }n\geqslant1.\end{cases}\]
Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg \((a_n)\) można określić za pomocą wzoru ogólnego
\[a_n=\frac2{2n-1},\qquad n\geqslant1.\]
Odpowiedź
Wzór \(a_n=\frac{2}{2n-1}\) zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\); dowód przez indukcję: baza \(a_1=2\), krok \(a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}=\frac{2}{2n+1}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dowód przeprowadzamy metodą indukcji matematycznej względem \(n\).
**Baza indukcji.** Dla \(n=1\) wzór ogólny daje \(\frac{2}{2\cdot1-1}=\frac21=2\), co jest zgodne z warunkiem \(a_1=2\).
**Krok indukcyjny.** Zakładamy, że dla pewnej liczby naturalnej \(n\geq1\) zachodzi \(a_n=\frac{2}{2n-1}\). Wykażemy, że wtedy
\[a_{n+1}=\frac{2}{2(n+1)-1}=\frac{2}{2n+1}.\]
Zauważmy najpierw, że \(2n-1>0\), więc \(a_n>0\), a zatem \(a_n+1\ne0\) i wzór rekurencyjny ma sens. Korzystamy z założenia indukcyjnego:
\[a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}=\frac{\frac{2}{2n-1}}{\frac{2}{2n-1}+1}=\frac{\frac{2}{2n-1}}{\frac{2+(2n-1)}{2n-1}}=\frac{2}{2n+1}.\]
Otrzymaliśmy dokładnie to, co należało wykazać.
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór \(a_n=\frac{2}{2n-1}\) zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**20.1. (1 pkt)** – sprawdzenie warunku dla \(n=1\).
**20.2. (1 pkt)** – napisanie założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej.
**20.3. (2 pkt)** – przeprowadzenie dalszej części dowodu.
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
