Zadanie 13 – matura z matematyki próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony

Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy trzy oddzielne zadania w jednym. Po prawej stronie równania stoi liczba (a nie wyrażenie z \(x\)), więc najpierw ją obliczamy. Potem rozwiązujemy proste równanie trygonometryczne, następnie z nierówności z wartością bezwzględną odczytujemy przedział, a na koniec sumujemy wybrane rozwiązania — a te tworzą ciąg arytmetyczny. **Krok \(2\).** Obliczamy \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\). Rozkładamy kąt: \[\frac{25\pi}{2}=\frac{24\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=12\pi+\frac{\pi}{2}.\] Funkcja \(\operatorname{ctg}\) ma okres \(\pi\), a \(12\pi\) to jego wielokrotność, więc \[\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{0}{1}=0.\] **Krok \(3\).** Równanie sprowadza się zatem do \(\sin3x=0\). Sinus zeruje się dla wielokrotności \(\pi\), więc \[3x=k\pi,\qquad x=\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy nierówność \(|x-5\pi|\leqslant5\pi\). Warunek \(|t|\leqslant a\) oznacza \(-a\leqslant t\leqslant a\), więc \[-5\pi\leqslant x-5\pi\leqslant5\pi,\qquad 0\leqslant x\leqslant10\pi.\] **Krok \(5\).** Wybieramy te rozwiązania, które leżą w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\): \[0\leqslant\frac{k\pi}{3}\leqslant10\pi\quad\Big/\cdot\frac{3}{\pi},\qquad 0\leqslant k\leqslant30.\] Liczb całkowitych \(k\) jest więc \(30-0+1=31\). **Krok \(6\).** Sumujemy te rozwiązania. Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(\frac{\pi}{3}\), a sumę można policzyć, wyłączając \(\frac{\pi}{3}\) przed nawias: \[S=\sum_{k=0}^{30}\frac{k\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\bigl(0+1+2+\dots+30\bigr)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{30\cdot31}{2}=\frac{\pi}{3}\cdot465=155\pi.\] **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo tu przeoczyć. Po pierwsze, \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\) to stała liczba, a nie funkcja zmiennej \(x\) — kto potraktuje ją jako coś zależnego od \(x\), utknie. Po drugie, nierówność jest nieostra, więc oba końce przedziału należą do zbioru, a zarówno \(x=0\) (dla \(k=0\)), jak i \(x=10\pi\) (dla \(k=30\)) są rozwiązaniami równania. Rozwiązań jest więc \(31\), a nie \(30\) — pominięcie któregoś z końców zmieniłoby wynik. **Odpowiedź.** Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**1. (1 pkt)** – Zauważenie, że kolejne rozwiązania równania trygonometrycznego, są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym \(a_{1}=0\land r=\frac{\pi}{3}\) **2. (1 pkt)** – Ustalenie liczby rozwiązań należących do zbioru \(\langle 0;10\pi\rangle\): \(n=31\) **3. (1 pkt)** – Obliczenie sumy rozwiązań równania należących do zbioru \(\langle 0,10\pi\rangle\): \(S_{31}=155\pi\) (lub sumy \(30\) początkowych wyrazów ciągu, gdy zdający przyjmie, że \(a_{1}=\frac{\pi}{3}\)).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.