Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 14, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Dany jest ciąg liczbowy
\[a_n=3n^2-3n+2\]
określony dla dowolnej liczby \(n\in\mathbb{N}_+\).
a) Wykaż, korzystając z definicji monotoniczności ciągu, że ciąg \((a_n)\) jest rosnący.
b) Oblicz granicę
\[\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^6+n}}{1-a_n}.\]
Odpowiedź
a) ciąg jest rosnący, bo \(a_{n+1}-a_{n}=6n\gt 0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}_{+}\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}=-\frac{2}{3}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Punkt a) mówi wprost: „korzystając z definicji monotoniczności” — a ciąg jest rosnący dokładnie wtedy, gdy \(a_{n+1}-a_n\gt0\) dla każdego \(n\). Liczymy więc tę różnicę i pokazujemy, że jest dodatnia. W punkcie b) w liczniku i mianowniku występują wyrażenia rosnące jak \(n^2\); standardową metodą jest wyłączenie najwyższej potęgi \(n\) — pod pierwiastkiem sześciennym wyłączamy \(n^6\), bo \(\sqrt[3]{n^6}=n^2\).
**Krok \(2\).** a) Wyznaczamy \(a_{n+1}\), podstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\):
\[a_{n+1}=3(n+1)^2-3(n+1)+2=3\left(n^2+2n+1\right)-3n-3+2=3n^2+6n+3-3n-1=3n^2+3n+2.\]
**Krok \(3\).** Liczymy różnicę kolejnych wyrazów:
\[a_{n+1}-a_n=\left(3n^2+3n+2\right)-\left(3n^2-3n+2\right)=3n+3n=6n.\]
**Krok \(4\).** Dla każdego \(n\in\mathbb{N}_+\) mamy \(n\geqslant1\), więc \(6n\geqslant6\gt0\). Zatem \(a_{n+1}\gt a_n\) dla każdego \(n\), a to znaczy, że ciąg \((a_n)\) jest rosnący.
**Krok \(5\).** b) Zapisujemy mianownik jawnie:
\[1-a_n=1-\left(3n^2-3n+2\right)=-3n^2+3n-1.\]
**Krok \(6\).** Licznik przekształcamy, wyłączając \(n^6\) spod pierwiastka sześciennego:
\[\sqrt[3]{8n^6+n}=\sqrt[3]{n^6\left(8+\frac{1}{n^5}\right)}=n^2\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^5}}.\]
**Krok \(7\).** Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^2\):
\[\frac{\sqrt[3]{8n^6+n}}{1-a_n}=\frac{n^2\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^5}}}{n^2\left(-3+\frac3n-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^5}}}{-3+\frac3n-\frac{1}{n^2}}.\]
**Krok \(8\).** Przechodzimy do granicy. Wyrażenia \(\frac{1}{n^5}\), \(\frac3n\) i \(\frac{1}{n^2}\) dążą do zera, więc
\[\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^6+n}}{1-a_n}=\frac{\sqrt[3]{8}}{-3}=\frac{2}{-3}=-\frac23.\]
**Uwaga.** Znak minus w wyniku bierze się stąd, że w mianowniku stoi \(1-a_n\), a nie \(a_n-1\) — dla dużych \(n\) mianownik jest ujemny. Warto też zapamiętać regułę \(\sqrt[3]{n^6}=n^2\) (bo \(\frac63=2\)); pomylenie jej z \(n^3\) jest tu najczęstszym błędem rachunkowym.
**Odpowiedź.** a) ciąg jest rosnący, bo \(a_{n+1}-a_{n}=6n\gt 0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}_{+}\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}=-\frac{2}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Zapisanie granicy: \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}\) w postaci \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{-3n^{2}+3n-1}\)
**2. (1 pkt)** – Zastosowanie właściwego algorytmu obliczania granicy ciągu: np. zapisanie ułamka w postaci \(\frac{\sqrt[3]{8+\frac{1}{n^{5}}}}{-3+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}}\)
**3. (1 pkt)** – Obliczenie granicy: \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{8n^{6}+n}}{1-a_{n}}=-\frac{2}{3}\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
