Potęgi i pierwiastki
Zadanie 11, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Pierwiastkiem równania
\[2x^3-(3m-1)x^2+7x-m=0\]
jest liczba \(-1\). Wyznacz wartość parametru \(m\) oraz pozostałe pierwiastki tego równania.
Odpowiedź
\(m=-2\), a pozostałe pierwiastki to \(x=-\dfrac12\) oraz \(x=-2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wykorzystanie twierdzenia Bezout’a i wykonanie dzielenia przez
**Krok \(2\).** dwumian (x+\(1\)) (\(1\) punkt przyznajemy za metodę, \(1punkt\) za obliczenia), \(2\)
**Krok \(3\).** wynik dzielenia: \(2x\) \(2\) + \(5x\) + \(2 = 0\)
**Krok \(4\).** Obliczenie pozostałych pierwiastków tego równania: x = − , x = −\(2\) \(1\)
**Krok \(5\).** Wyznaczenie sinusa kąta przy wierzchołku C: sin γ =
**Krok \(6\).** Wyznaczenie cosinusa kąta przy wierzchołku C: cos γ = − \(1\)
**Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
**1. (2 pkt)** – Wykorzystanie twierdzenia Bezout’a i wykonanie dzielenia przez dwumian \((x+1)\) (1 punkt przyznajemy za metodę, 1 punkt za obliczenia), wynik dzielenia: \(2x^{2}+5x+2=0\)
**2. (1 pkt)** – Obliczenie pozostałych pierwiastków tego równania: \(x_{1}=-\frac{1}{2}\), \(x_{2}=-2\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
