Równania i nierówności
Zadanie 7, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.\]
Odpowiedź
\[x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{8}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mnożymy równanie przez \(2\) i korzystamy ze wzoru \(2\sin u\cos u=\sin2u\):
\[\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.\]
Ponieważ \(\sin(2x+\frac{\pi}{2})=\cos2x\), otrzymujemy
\[\cos2x=\frac{\sqrt2}{2}.\]
Stąd
\[2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\text{lub}\quad2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Po podzieleniu przez \(2\):
\[x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{8}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – podanie pełnego zbioru rozwiązań: \(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\) lub \(x=\frac{\pi}{8}+k\pi\), \(k\in\mathbb Z\)
**3 pkt** – zapisanie \(2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\) lub \(2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\)
**2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(\sin(2x+\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt2}{2}\) albo \(\cos2x=\frac{\sqrt2}{2}\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta albo wzorów na sinus i cosinus sumy kątów
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.5 i R6.6 stosowanie wzorów trygonometrycznych oraz rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
