Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 6, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x>2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[5x^2-6xy+3y^2-2x-4>0.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x>2\) i \(y\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę:
\[5x^2-6xy+3y^2-2x-4\]
\[=3x^2-6xy+3y^2+2x^2-2x-4\]
\[=3(x-y)^2+2(x+1)(x-2).\]
Pierwszy składnik jest nieujemny dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\). Ponieważ \(x>2\), mamy również \(x+1>0\) oraz \(x-2>0\), zatem
\[2(x+1)(x-2)>0.\]
Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, więc podana nierówność jest prawdziwa.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne poprawne rozumowanie prowadzące do wykazania nierówności
**2 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \(3(x-y)^2+2(x+1)(x-2)\) lub wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu \(2x^2-2x-4\)
**1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \(3(x-y)^2+2x^2-2x-4\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 i R2.6 stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz wykonywanie działań na wyrażeniach algebraicznych.
