Funkcje
Zadanie 8, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Na przeciwprostokątnej \(AB\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano kwadrat \(ABDE\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy \(k\). Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa
\[\frac1{2k}.\]
Odpowiedź
\[\tan\alpha+\tan\beta=\frac1{2k}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy długości przyprostokątnych przez \(a\) i \(b\), a przeciwprostokątnej przez \(c\). Z warunku o polach mamy
\[k=\frac{P_{ABC}}{P_{ABDE}}=\frac{\frac12ab}{c^2}=\frac{ab}{2c^2}.\]
Stąd
\[c^2=\frac{ab}{2k}.\]
Dla kątów ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) trójkąta:
\[\tan\alpha=\frac ab,\qquad\tan\beta=\frac ba.\]
Zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa,
\[\tan\alpha+\tan\beta=\frac ab+\frac ba=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{c^2}{ab}.\]
Po podstawieniu \(c^2=\frac{ab}{2k}\) otrzymujemy
\[\tan\alpha+\tan\beta=\frac1{2k}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – pełny poprawny dowód prowadzący do \(\tan\alpha+\tan\beta=\frac1{2k}\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(c^2=\frac{ab}{2k}\)
**2 pkt** – zapisanie zarówno \(k=\frac{ab}{2c^2}\), jak i \(\tan\alpha+\tan\beta=\frac{c^2}{ab}\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie jednej z powyższych zależności
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
6.1 i G10.7 stosowanie definicji tangensa oraz twierdzenia Pitagorasa.
