Liczby rzeczywiste
Zadanie 7, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
\[2\cos^2x=\cos x\]
należące do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\(x\in\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{3}\right\}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po obu stronach równania występuje cosinus tego samego kąta, przy czym po jednej stronie w kwadracie. Naturalny odruch, czyli podzielenie obu stron przez \(\cos x\), jest tu błędem, bo \(\cos x\) może być zerem. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
**Krok \(2\).** Przekształcamy:
\[2\cos^2x-\cos x=0\ \Longrightarrow\ \cos x\left(2\cos x-1\right)=0.\]
**Krok \(3\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:
\[\cos x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos x=\tfrac12.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązania równania \(\cos x=0\) w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\). Cosinus zeruje się w punktach, w których ramię kąta jest pionowe:
\[x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\]
**Krok \(5\).** Rozwiązania równania \(\cos x=\tfrac12\). Kątem podstawowym jest \(\dfrac{\pi}{3}\), bo \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\). Cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce, więc drugie rozwiązanie to
\[x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.\]
**Krok \(6\).** Wszystkie cztery liczby \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{2}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\) należą do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\), więc wszystkie są rozwiązaniami.
**Uwaga.** Gdyby na starcie podzielić równanie przez \(\cos x\), zostałoby tylko \(2\cos x=1\) i zgubilibyśmy rozwiązania \(\dfrac{\pi}{2}\) oraz \(\dfrac{3\pi}{2}\). Dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem, zawsze grozi utratą rozwiązań.
**Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{3}\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\), \(x=\dfrac{3\pi}{2}\), \(x=\dfrac{5\pi}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
7.1 Wyznaczenie cos x z danego równania: cos x = 0 lub cos x = . 1
2 przez cos x , bez komentarza dostaje 0 pkt.
Wybranie i zapisanie rozwiązań należących do przedziału 0, 2π : Jeśli zdający w 7.1 podzielił równanie przez
cos x ale poprawnie rozwiązał otrzymane w ten
7.2 π π 3 5 2
x = , x = , x = π, x = π . sposób równanie otrzymuje 1 pkt.
1 3 2 2 3 2 4 3
Zdający może podać odpowiedź w stopniach.
II sposób rozwiązania.
7. 7.1 π 3π 1
Rozwiązanie równania gdy cos x = 0 : x = lub x = .
2 2
Rozwiązanie równania gdy cos x ≠ 0 :
1 pkt - za doprowadzenie równania do najprostszej postaci
1
7.2 cos x = . 2
2
π 5π
1 pkt – za rozwiązanie: x = lub x = .
3 3
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
