Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 8, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Uczeń analizował własności funkcji \(f\), której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną \(f'(x)\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Wyniki tej analizy zapisał w tabeli.
| \(x\) | \(( -\infty,-1)\) | \(-1\) | \((-1,2)\) | \(2\) | \((2,3)\) | \(3\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| \(f'(x)\) | \((+)\) | \(0\) | \((- )\) | \(0\) | \((- )\) | \(0\) | \((- )\) |
| \(f(x)\) | | \(2\) | | \(-1\) | | \(1\) | |
Niestety, wpisując znaki pochodnej, popełnił jeden błąd.
a) Przekreśl błędnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidłowy.
b) Napisz, czy po poprawieniu błędu w tabeli zawarte w niej dane pozwolą określić dokładną liczbę miejsc zerowych funkcji \(f\). Uzasadniając swoją odpowiedź, możesz naszkicować przykładowe wykresy funkcji.
Odpowiedź
a) Błędny jest znak pochodnej w przedziale \((2,3)\) — powinien tam być znak \((+)\).
b) Nie. Po poprawieniu tabeli funkcja \(f\) może mieć \(2\), \(3\) albo \(4\) miejsca zerowe.
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Z tabeli odczytujemy \(f(2)=-1\) oraz \(f(3)=1\), więc na przedziale \(\langle2,3\rangle\) wartość funkcji wzrasta. Funkcja różniczkowalna, która na przedziale rośnie, nie może mieć tam ujemnej pochodnej. Wpisany w przedziale \((2,3)\) znak \((-)\) jest zatem błędny — powinien tam stać znak \((+)\).
Pozostałe wpisy są zgodne z danymi: na \((-\infty,-1)\) funkcja rośnie do \(f(-1)=2\), na \((-1,2)\) maleje od \(2\) do \(-1\), a na \((3,+\infty)\) maleje od \(f(3)=1\).
**b)** Po poprawce przebieg funkcji jest następujący: rośnie na \((-\infty,-1\rangle\), maleje na \(\langle-1,2\rangle\), rośnie na \(\langle2,3\rangle\) i maleje na \(\langle3,+\infty)\). Liczbę miejsc zerowych rozpatrujemy w każdym z tych przedziałów osobno.
Na \(\langle-1,2\rangle\) funkcja maleje w sposób ciągły od \(2\) do \(-1\), więc ma tam dokładnie jedno miejsce zerowe. Na \(\langle2,3\rangle\) rośnie od \(-1\) do \(1\), więc również ma tam dokładnie jedno miejsce zerowe.
Na \((-\infty,-1\rangle\) funkcja rośnie do wartości \(2\), ale tabela nie mówi nic o jej wartościach dla argumentów bardzo małych: mogą być stale dodatnie (wtedy miejsc zerowych nie ma) albo przyjmować wartości ujemne (wtedy jest tam jedno miejsce zerowe). Tak samo na \(\langle3,+\infty)\) funkcja maleje od wartości \(1\) i może pozostać dodatnia albo zejść poniżej zera — \(0\) lub \(1\) miejsce zerowe.
Łącznie funkcja \(f\) może mieć \(2\), \(3\) albo \(4\) miejsca zerowe, więc dane z tabeli nie pozwalają określić ich dokładnej liczby.
**Odpowiedź.** a) Poprawić należy znak w przedziale \((2,3)\) na \((+)\). b) Nie — miejsc zerowych może być \(2\), \(3\) albo \(4\).
Klucz i zasady oceniania
8.1 Zaznaczenie w przedziale ( 2,3) poprawnego znaku pochodnej: (+). 1
1 pkt jeśli zdający poda odpowiedź – nie
pozwala,
2 pkt jeśli poda odpowiedź – nie pozwala, bo
może mieć 2 lub 3 lub 4 miejsca zerowe
Zapisanie, że mimo poprawienia błędu w tej tabeli umieszczone
(poprawnie wskazuje dwie różne liczby miejsc
w niej dane nie pozwalają stwierdzić dokładnie ile miejsc zerowych
zerowych, ale nie pokazuje, jak wygląda wykres
8.2 3
ma funkcja f: mogą być 2, 3 albo 4 miejsca zerowe
funkcji).
(zdający sporządza rysunki lub przedstawia słowne uzasadnienie).
3 pkt jeśli poda odpowiedź i narysuje dwa
wykresy lub pokazuje, że np. w przedziale
(3, +∞) funkcja może mieć 0 miejsc zerowych
lub 1 miejsce zerowe.
14 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
[Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
