Równania i nierówności
Zadanie 6, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Podstawa \(AB\) trapezu \(ABCD\) jest zawarta w osi \(Ox\), a wierzchołek \(D\) jest punktem przecięcia paraboli o równaniu
\[y=-\frac13x^2+x+6\]
z osią \(Oy\). Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź
\(P_{ABCD}=36\) (bo \(D=(0,6)\), \(A=(-3,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(3,6)\), więc \(|AB|=9\), \(|CD|=3\), a wysokość trapezu wynosi \(6\)).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Kluczowa jest obserwacja, że wszystkie cztery wierzchołki trapezu leżą na paraboli, a to pozwala wyliczyć ich współrzędne z równania paraboli. Bok \(AB\) leży na osi \(Ox\), więc \(A\) i \(B\) to miejsca zerowe funkcji. Punkt \(D\) leży na osi \(Oy\), więc odpowiada mu \(x=0\). Wreszcie \(CD\) jest równoległe do \(AB\) (to podstawy trapezu), a skoro \(AB\) jest poziome, to \(C\) ma tę samą rzędną co \(D\).
**Krok \(2\).** Wyznaczamy \(D\), podstawiając \(x=0\):
\[y=-\frac13\cdot0^2+0+6=6,\qquad D=(0,6).\]
**Krok \(3\).** Wyznaczamy \(A\) i \(B\), czyli miejsca zerowe:
\[-\frac13x^2+x+6=0\qquad\big|\cdot(-3)\big.\]
\[x^2-3x-18=0.\]
**Krok \(4\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki:
\[\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-18)=9+72=81,\qquad\sqrt{\Delta}=9,\]
\[x_1=\frac{3-9}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{3+9}{2}=6.\]
Zatem \(A=(-3,0)\) i \(B=(6,0)\), a długość dłuższej podstawy to
\[|AB|=6-(-3)=9.\]
**Krok \(5\).** Wyznaczamy \(C\). Skoro \(CD\parallel AB\), punkt \(C\) ma tę samą rzędną co \(D\), czyli \(y=6\):
\[-\frac13x^2+x+6=6,\qquad -\frac13x^2+x=0,\qquad x\left(1-\frac13x\right)=0,\]
skąd \(x=0\) lub \(x=3\). Wartość \(x=0\) to punkt \(D\), więc \(C=(3,6)\).
**Krok \(6\).** Obliczamy krótszą podstawę:
\[|CD|=3-0=3.\]
**Krok \(7\).** Wysokość trapezu to odległość między prostymi zawierającymi podstawy, czyli między prostą \(y=6\) a osią \(Ox\):
\[h=6.\]
**Krok \(8\).** Podstawiamy do wzoru na pole trapezu:
\[P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{9+3}{2}\cdot6=6\cdot6=36.\]
**Uwaga.** Równanie z kroku \(5\) ma dwa rozwiązania i trzeba świadomie odrzucić \(x=0\) — ono odpowiada punktowi \(D\), a nie nowemu wierzchołkowi. Zwróć też uwagę, że wysokości nie trzeba liczyć osobno: to po prostu rzędna punktów \(C\) i \(D\), bo druga podstawa leży na osi \(Ox\).
**Odpowiedź.** \(P_{ABCD}=36\) (bo \(D=(0,6)\), \(A=(-3,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(3,6)\), więc \(|AB|=9\), \(|CD|=3\), a wysokość trapezu wynosi \(6\)).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**6.1. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=(0,\,6)\).
**6.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\) i \(B\): \(A=(-3,\,0)\), \(B=(6,\,0)\).
**6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(CD\): \(CD=3\).
**6.4. (1 pkt)** – obliczenie pola trapezu: \(P_{ABCD}=\frac{9+3}{2}\cdot 6=36\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
