Zadanie 9 – matura z matematyki próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{-\frac{3\pi}{4},\frac\pi4,\frac{5\pi}{4}\right\}.\]

Przekształcamy równanie: \[\sin^4x+\cos^4x=\sin x\cos x.\] Korzystamy z tożsamości \[\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\] i z \(\sin^2x+\cos^2x=1\): \[1-2(\sin x\cos x)^2=\sin x\cos x.\] Ponieważ \(\sin2x=2\sin x\cos x\), otrzymujemy \[1-\frac12\sin^2(2x)=\frac12\sin(2x),\] \[\sin^2(2x)+\sin(2x)-2=0.\] Stąd \[\sin(2x)=1\quad\text{lub}\quad\sin(2x)=-2.\] Drugie równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Z pierwszego: \[2x=\frac\pi2+2\pi k,\qquad x=\frac\pi4+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\] Po ograniczeniu do \([-\pi,2\pi]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{3\pi}{4},\frac\pi4,\frac{5\pi}{4}\right\}.\]

**4 pkt** – zapisanie, że równanie \(\sin(2x)=-2\) nie ma rozwiązań, oraz rozwiązanie równania \(\sin(2x)=1\) w zbiorze \([-\pi,2\pi]\): \(-\frac{3\pi}{4}\), \(\frac\pi4\), \(\frac{5\pi}{4}\) **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin(2x)=1\) w \(\mathbb R\): \(x=\frac\pi4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); albo wyznaczenie jego trzech rozwiązań w podanym przedziale **2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy \(\sin(2x)=-2\) lub \(\sin(2x)=1\) **1 pkt** – zastosowanie tożsamości \(\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x\) albo równoważnego przekształcenia **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.