Zadanie 10 – matura z matematyki próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony

\[\left(32,4,\frac12\right).\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Z warunku \[a_3+a_5=10\] otrzymujemy \[(a_1+2r)+(a_1+4r)=10,\] \[2a_1+6r=10,\qquad a_1=5-3r.\] Ponieważ \((2a_1+4,a_4-1,-\frac18a_7)\) jest ciągiem geometrycznym, zachodzi \[(a_4-1)^2=\left(2a_1+4\right)\left(-\frac18a_7\right).\] Mamy \[a_4=a_1+3r=5,\qquad a_7=a_1+6r=5+3r.\] Zatem \[4^2=-\frac18(5+3r)(14-6r),\] \[16=-\frac18(3r+5)(14-6r),\] \[18r^2-12r-198=0.\] Po rozwiązaniu równania: \[r=-3\quad\text{lub}\quad r=\frac{11}{3}.\] Ciąg arytmetyczny jest malejący, więc \(r<0\), a zatem \(r=-3\). Wtedy \[a_1=5-3(-3)=14,\qquad a_4=5,\qquad a_7=-4.\] Szukany ciąg geometryczny ma wyrazy \[\left(2a_1+4,a_4-1,-\frac18a_7\right)=\left(32,4,\frac12\right).\]

**5 pkt** – odrzucenie przypadku \(r=\frac{11}{3}\) z uwagi na malejący ciąg arytmetyczny i obliczenie wyrazów ciągu geometrycznego \((32,4,\frac12)\) **4 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą: \(r=-3\) oraz \(r=\frac{11}{3}\); albo równoważnie \(a_1=14\) oraz \(a_1=-6\) **3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą \(a_1\) lub \(r\) **2 pkt** – zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \(a_1\), \(r\); albo zapisanie związku \(4^2=-\frac18a_7(2a_1+4)\) **1 pkt** – zastosowanie własności ciągu geometrycznego \((a_4-1)^2=-\frac18a_7(2a_1+4)\); albo zastosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego; albo obliczenie \(a_4=5\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań.