Ciągi
Zadanie 8, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
**Oblicz granicę**
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{1+3+5+7+\ldots+(2n+1)}{\binom n2},\]
gdzie \(1+3+5+7+\ldots+(2n+1)\) jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. **Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Suma \(1+3+5+\ldots+(2n+1)\) zawiera \(n+1\) kolejnych liczb nieparzystych. Jej wartość wynosi
\[1+3+5+\ldots+(2n+1)=(n+1)^2.\]
Ponadto
\[\binom n2=\frac{n(n-1)}2.\]
Zatem
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{1+3+5+\ldots+(2n+1)}{\binom n2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{n(n-1)/2}.\]
Po uproszczeniu:
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2+4n+2}{n^2-n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2+\frac4n+\frac2{n^2}}{1-\frac1n}=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(2\)
**3 pkt** – wyznaczenie sumy \(1+3+5+\ldots+(2n+1)=(n+1)^2\) oraz zapisanie \(\binom n2=\frac{n(n-1)}2\)
**2 pkt** – wyznaczenie liczby składników sumy: \(n+1\), oraz rozwinięcie symbolu Newtona; albo wyznaczenie sumy \((n+1)^2\)
**1 pkt** – wyznaczenie liczby składników sumy: \(n+1\); albo zapisanie \(\binom n2=\frac{n(n-1)}2\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
**Uwaga CKE:** przyjęcie błędnie, że suma ma \(n\) składników, i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca daje \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.R1) Zdający oblicza granice ciągów.
