Trójkąty
Zadanie 6, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki \(BC\), \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta w punktach - odpowiednio - \(K\), \(L\) oraz \(M\). Punkt \(P\) jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach \(CLPK\) oraz \(BKPM\) można opisać okrąg.
**Udowodnij, że trójkąt \(ABC\) jest równoboczny.**
Odpowiedź
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy połowy miar kątów przy wierzchołkach \(A\) i \(B\) przez \(\alpha\) i \(\beta\), a miarę kąta przy \(C\) przez \(\gamma\). Ponieważ czworokąt \(CLPK\) jest wpisany w okrąg,
\[\angle LPK=180^\circ-\gamma.\]
Kąty \(LPK\) i \(APB\) są wierzchołkowe, a w trójkącie \(APB\) mamy
\[\angle APB=180^\circ-\alpha-\beta.\]
Stąd \(\gamma=\alpha+\beta\). Z sumy kątów trójkąta \(ABC\):
\[\gamma+2\alpha+2\beta=180^\circ.\]
Po podstawieniu \(\alpha+\beta=\gamma\) otrzymujemy \(3\gamma=180^\circ\), więc \(\gamma=60^\circ\). Analogiczne rozumowanie dla czworokąta \(BKPM\) daje \(\angle ABC=60^\circ\). Wobec tego także \(\angle CAB=60^\circ\), a więc trójkąt \(ABC\) jest równoboczny.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie wszystkich kątów trójkąta \(ABC\) i zakończenie dowodu
**3 pkt** – obliczenie \(\gamma=60^\circ\)
**2 pkt** – zastosowanie kątów wierzchołkowych i uzyskanie \(\gamma=\alpha+\beta\)
**1 pkt** – użycie własności czworokąta wpisanego w okrąg albo sumy kątów trójkąta w odpowiednim miejscu
**0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja, w tym przeprowadzanie dowodów kilkuetapowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.R1 stosowanie własności czworokątów wpisanych w okrąg.
