Równania i nierówności
Zadanie 9, maj 2026, poziom rozszerzony
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od \(6\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(1\), a ostatni wyraz tego ciągu jest równy \(-2025\). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą, w podanej kolejności, ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Odpowiedź
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego równy iloczynowi skrajnych) zapisujemy dla wyrazów ciągu arytmetycznego wyrażonych przez \(a_{1}=1\) i różnicę \(r\).
**Krok \(2\).** Ze wzoru \(a_{n}=1+(n-1)r\):
\[a_{2}=1+r,\qquad a_{3}=1+2r,\qquad a_{6}=1+5r.\]
**Krok \(3\).** Warunek geometryczności:
\[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\]
**Krok \(4\).** Stąd \(r(r+2)=0\), czyli \(r=0\) lub \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\) — sprzeczność. Zostaje \(r=-2\).
**Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(r=-2\) mamy \(a_{2}=-1\), \(a_{3}=-3\), \(a_{6}=-9\), a ciąg \((-1,-3,-9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\).
**Krok \(6\).** Wyznaczamy liczbę wyrazów z warunku \(a_{n}=-2025\):
\[-2025=1+(n-1)\cdot(-2),\qquad -2026=-2(n-1),\qquad n-1=1013,\qquad n=1014.\]
Warunek \(n\gt 6\) jest spełniony.
**Krok \(7\).** Suma ciągu arytmetycznego:
\[S_{1014}=\frac{a_{1}+a_{1014}}{2}\cdot 1014=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=-1012\cdot 1014.\]
**Krok \(8\).** Obliczamy: \(1012\cdot 1014=1012\cdot 1000+1012\cdot 14=1\,012\,000+14\,168=1\,026\,168\).
**Uwaga.** Wartość \(r=0\) formalnie spełnia równanie z Kroku \(3\) (ciąg stały jest geometryczny), ale przeczy warunkowi na ostatni wyraz — trzeba ją jawnie odrzucić.
**Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\).
**2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \(\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\).
**3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\).
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\).
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.
4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy).
4. b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
