Zadanie 11 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

Krawędź podstawy ma długość \(3\sqrt{6}\), a cosinus kąta między ścianami \(SAC\) i \(SBC\) jest równy \(\frac{5}{14}\).

Z długości okręgu opisanego na podstawie wyznaczamy jego promień: \[2\pi R=6\sqrt2\pi,\qquad R=3\sqrt2.\] Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) zachodzi \(R=\dfrac{a\sqrt3}{3}\), zatem \[a=R\sqrt3=3\sqrt6,\qquad a^{2}=54.\] Oznaczmy przez \(b\) długość krawędzi bocznej. Twierdzenie cosinusów w trójkącie równoramiennym \(BSC\) daje \[a^{2}=2b^{2}\left(1-\cos\lvert\angle BSC\rvert\right)=2b^{2}\left(1-\tfrac59\right)=\tfrac89 b^{2},\] czyli \(b^{2}=\tfrac98 a^{2}=\tfrac{486}{8}=\tfrac{243}{4}\). Kąt między ścianami \(SAC\) i \(SBC\) mierzymy w przekroju prostopadłym do wspólnej krawędzi \(SC\). Niech \(D\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z \(B\) na \(SC\); z symetrii spodek wysokości z \(A\) jest tym samym punktem, a szukany kąt to \(\angle ADB\). Oznaczmy \(x=\lvert AD\rvert=\lvert BD\rvert\). Pole trójkąta \(BSC\) zapisujemy dwoma sposobami: \[\tfrac12 b\,x=\tfrac12 b^{2}\sin\lvert\angle BSC\rvert,\qquad \sin\lvert\angle BSC\rvert=\sqrt{1-\tfrac{25}{81}}=\tfrac{2\sqrt{14}}{9},\] skąd \(x=b\cdot\tfrac{2\sqrt{14}}{9}\) oraz \(x^{2}=\tfrac{56}{81}b^{2}=\tfrac{56}{81}\cdot\tfrac{243}{4}=42\). Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ADB\), w którym \(\lvert AB\rvert=a\), \[\cos\lvert\angle ADB\rvert=\frac{2x^{2}-a^{2}}{2x^{2}}=\frac{84-54}{84}=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}.\] **Odpowiedź.** Krawędź podstawy ma długość \(3\sqrt6\), a cosinus kąta między ścianami \(SAC\) i \(SBC\) jest równy \(\dfrac{5}{14}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – obliczenie długości \(a\) krawędzi podstawy ostrosłupa: \(a=3\sqrt{6}\) ALBO obliczenie \(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\): \(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{7}}{3}\), ALBO obliczenie \(\sin\alpha\): \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{14}}{9}\), ALBO zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta \(ABD\) i zapisanie równania \(a^{2}=x^{2}+x^{2}-2x^{2}\cos\beta\) ALBO zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta \(BCS\) i zapisanie równania \(a^{2}=b^{2}+b^{2}-2b^{2}\cos\alpha\) ALBO zapisanie zależności między \(a\), \(x\) oraz \(\alpha\), np. \(\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{x}{a}\), \(\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{a}\), ALBO zapisanie zależności między \(b\), \(x\) oraz \(\alpha\), np. \(\sin\alpha=\frac{x}{b}\). **2 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz \(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\): \(a=3\sqrt{6}\) oraz \(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{7}}{3}\) ALBO zapisanie związków \(\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{7}}{3}\) oraz \(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\lvert EB\rvert}{x}\), ALBO obliczenie długości (lub kwadratu długości) \(b\) krawędzi bocznej ostrosłupa: \(b=\frac{9\sqrt{3}}{2}\) (lub \(b^{2}=\frac{243}{4}\)), ALBO zapisanie zależności między długością krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokością ściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: \(\frac{x}{b}=\frac{2\sqrt{14}}{9}\), \(\frac{1}{2}\cdot b^{2}\cdot\frac{2\sqrt{14}}{9}=\frac{1}{2}b\cdot x\), \(\left(\frac{5}{9}b\right)^{2}+x^{2}=b^{2}\), ALBO zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów \(\alpha\) i \(\beta\), np. \(1=2\cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot(1-\cos\beta)\), \(1=\sin^{2}\alpha\cdot\frac{1-\cos\beta}{1-\cos\alpha}\). **3 pkt** – obliczenie wysokości \(x\) ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa: \(x=\sqrt{42}\) ALBO obliczenie \(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\): \(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{3}{2\sqrt{7}}\), ALBO obliczenie długości krawędzi podstawy: \(a=3\sqrt{6}\) oraz zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów \(\alpha\) i \(\beta\), np. \(1=2\cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot(1-\cos\beta)\), \(1=\sin^{2}\alpha\cdot\frac{1-\cos\beta}{1-\cos\alpha}\), ALBO obliczenie cosinusa kąta \(\beta\): \(\cos\beta=\frac{5}{14}\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a=3\sqrt{6}\) oraz \(\cos\beta=\frac{5}{14}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa i zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej – pomimo błędnie obliczonej długości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej – to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt. 2. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa i zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem – pomimo błędnie obliczonej długości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka podstawy ostrosłupa – to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego z kategorii za 1 punkt. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 9.4) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami; 9.6) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów […].