Zadanie 9 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{-\tfrac{2\pi}{3},\,-\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{6}\right\}.\]

Korzystamy ze wzorów \(\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos(2x)\) oraz \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\): \[3\cos^{2}x-3\sin^{2}x+\sqrt3\sin(2x)=3\cos(2x)+\sqrt3\sin(2x)=0.\] Gdyby \(\cos(2x)=0\), to z równania wynikałoby \(\sin(2x)=0\), co jest niemożliwe wobec jedynki trygonometrycznej. Zatem \(\cos(2x)\neq0\) i można podzielić obie strony przez \(\sqrt3\cos(2x)\): \[\operatorname{tg}(2x)=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3.\] Stąd \[2x=-\tfrac{\pi}{3}+k\pi,\qquad x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Ograniczamy rozwiązania do przedziału \([-\pi,\pi]\): \[k=-1:\ x=-\tfrac{2\pi}{3};\quad k=0:\ x=-\tfrac{\pi}{6};\quad k=1:\ x=\tfrac{\pi}{3};\quad k=2:\ x=\tfrac{5\pi}{6}.\] Dla \(k=-2\) i \(k=3\) wartości \(-\tfrac{7\pi}{6}\) i \(\tfrac{4\pi}{3}\) leżą poza przedziałem. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{-\dfrac{2\pi}{3},\,-\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

**Zasady oceniania (dla sposobów I–III)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^{2}x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) (dla sposobu I) ALBO zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu III), ALBO uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III). **2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^{2}x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobu I), ALBO przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) (dla sposobu II). **3 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq 0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) i \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobów I oraz III), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III) ALBO zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq 0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **4 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq 0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO rozwiązanie jednego z równań alternatywy \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\), gdzie \(x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k\) i \(k\in\mathbb{Z}\), w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq 0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\) (dla sposobu II), ALBO rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\). **Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu V), ALBO zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika \(\Delta\) trójmianu kwadratowego \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x\) zmiennej np. \(\cos x\): \(\Delta=\left(4\sqrt{3}\sin x\right)^{2}\). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) (dla sposobu V), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) (dla sposobu V). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+2x\right)=0\) (dla sposobu IV) ALBO przekształcenie równania do postaci \(\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0\) (dla sposobu IV), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V). **4 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO rozwiązanie równania \(\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO rozwiązanie obydwu równań alternatywy \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\). Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów, b) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów, c) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej, ale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci \(\sin(ax+b)=c\), \(\cos(ax+b)=c\), gdzie \(a\neq 0\), \(a^{2}\neq 1\), \(b\neq 0\), \(c\in[-1,1]\), i rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony równania \(3\cos(2x)=-\sqrt{3}\sin(2x)\) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy wszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie odrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie \(a(x)\) zawierające niewiadomą \(x\) i nie zapisze założenia \(a(x)\neq 0\), ani też nie rozważa przypadku \(a(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.