Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 12, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\sin(2x)+\cos(2x)=1+\sin x-\cos x\]
w zbiorze \((0,2\pi)\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac\pi4,\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}4,\frac{11\pi}6\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta:
\[2\sin x\cos x+\cos^2x-\sin^2x=1+\sin x-\cos x.\]
Po przekształceniu i rozłożeniu na czynniki otrzymujemy
\[0=(\sin x-\cos x)(2\sin x+1).\]
Zatem
\[\sin x=\cos x\qquad\text{lub}\qquad\sin x=-\frac12.\]
W zbiorze \((0,2\pi)\) pierwsze równanie ma rozwiązania
\[x=\frac\pi4,\qquad x=\frac{5\pi}4,\]
a drugie
\[x=\frac{7\pi}6,\qquad x=\frac{11\pi}6.\]
Ostatecznie
\[x\in\left\{\frac\pi4,\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}4,\frac{11\pi}6\right\}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny zbiór rozwiązań
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie równań \(\sin x=\cos x\) oraz \(\sin x=-\frac12\) albo rozwiązanie jednego z nich w zbiorze \((0,2\pi)\) i otrzymanie dwóch właściwych wartości
**2 pkt** – przekształcenie równania do postaci \((\sin x-\cos x)(2\sin x+1)=0\)
**1 pkt** – zastosowanie wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
6.5 R) Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.
6.6 R) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne typu \(\sin2x=\frac12\), \(\sin2x+\cos x=1\), \(\sin x+\cos x=1\).
