Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 13, maj 2024, poziom rozszerzony
Promień okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) jest równy \(17\). Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok \(AC\), a długości dwóch pozostałych boków są równe \(|AB|=30\) oraz \(|BC|=17\).
Oblicz miarę kąta \(BAC\) oraz długość boku \(AC\) tego trójkąta.
Odpowiedź
\[|\angle BAC|=30^\circ,\qquad |AC|=15\sqrt3+8.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(R=17\) będzie promieniem okręgu opisanego na trójkącie. Z twierdzenia sinusów
\[\frac{|BC|}{\sin|\angle BAC|}=2R,\]
więc
\[\sin|\angle BAC|=\frac{17}{34}=\frac12.\]
Kąt \(BAC\) nie może mieć miary \(150^\circ\), ponieważ wtedy bok \(BC\) byłby najdłuższym bokiem trójkąta. Zatem
\[|\angle BAC|=30^\circ.\]
Oznaczmy \(x=|AC|\). Z twierdzenia cosinusów
\[17^2=x^2+30^2-2\cdot x\cdot30\cos30^\circ.\]
Stąd
\[x^2-30\sqrt3x+611=0,\]
a więc
\[x=15\sqrt3-8\qquad\text{lub}\qquad x=15\sqrt3+8.\]
Ponieważ \(AC\) jest najdłuższym bokiem trójkąta, \(|AC|>30\). Ostatecznie
\[|AC|=15\sqrt3+8.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(30^\circ\) oraz \(15\sqrt3+8\) (lub równoważna postać)
**3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do długości \(AC\)
**2 pkt** – obliczenie miary kąta \(BAC\): \(30^\circ\)
**1 pkt** – zapisanie, że kąt \(BAC\) ma miarę \(60^\circ\), albo zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, w którym miara kąta \(BAC\) pozostaje niewiadomą
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.4 R) Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
