Ciąg arytmetyczny
Zadanie 11, maj 2024, poziom rozszerzony
Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma jego wyrazów jest równa \(105\). Liczby x, y oraz z są odpowiednio pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Oblicz x, y oraz z.
Odpowiedź
x=\(5\), y=\(20\), z=\(80\). Jeśli r jest różnicą ciągu arytmetycznego, to y=x+r, z=x+\(5r\). Warunki x+y+z=\(105\) i \(y^{2}\)=xz dają r=\(0\) lub r=\(15\); przypadek stały odpada, ponieważ ciąg geometryczny ma być rosnący.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Liczby \(x\), \(y\), \(z\) są jego pierwszym, drugim i szóstym wyrazem, więc
\[y=x+r,\qquad z=x+5r.\]
Z warunku na sumę
\[x+(x+r)+(x+5r)=105,\qquad 3x+6r=105,\qquad x+2r=35.\]
Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[(x+r)^{2}=x(x+5r),\qquad x^{2}+2xr+r^{2}=x^{2}+5xr,\qquad r^{2}-3xr=0,\qquad r(r-3x)=0.\]
Gdyby \(r=0\), wszystkie trzy liczby byłyby równe \(35\), a ciąg geometryczny nie byłby rosnący. Zostaje \(r=3x\), a wtedy z równania \(x+2r=35\)
\[x+6x=35,\qquad 7x=35,\qquad x=5,\qquad r=15.\]
Stąd \(y=20\) oraz \(z=5+75=80\).
Sprawdzenie: \(5+20+80=105\), a iloraz \(\frac{20}5=\frac{80}{20}=4>1\), więc ciąg jest rosnący.
**Odpowiedź.** \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)
Klucz i zasady oceniania
**Zasady oceniania (dla sposobu I i II)**
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\).
**3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((35-r)^{2}=(35-2r)\cdot(35+3r)\)
ALBO
– poprawne wyznaczenie \(r\) w zależności od \(x\) z równania \((x+r)^{2}=x(x+5r)\): \(r=3x\).
**2 pkt** – zapisanie \(x\), \(y\) oraz \(z\) w zależności od \(r\): \(x=35-2r\), \(y=35-r\), \(z=35+3r\)
ALBO
– zapisanie układu równań \(x+x+r+x+5r=105\) i \((x+r)^{2}=x(x+5r)\) lub \(x+x+r+x+5r=105\) i \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\)
**1 pkt** – zapisanie równania \(x+x+r+x+5r=105\)
ALBO
– zapisanie równania \((x+r)^{2}=x(x+5r)\),
ALBO
– zapisanie równania \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Zasady oceniania (dla sposobu III)**
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\).
**3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(y\), np. \(y^{2}=(2y-35)\cdot(140-3y)\).
**2 pkt** – zapisanie \(x\) oraz \(z\) w zależności od \(y\): \(x=2y-35\), \(z=140-3y\).
**1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(y-x)=z-y\) lub \(y^{2}=xz\), lub \(5(y-x)=z-x\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Zasady oceniania (dla sposobu IV)**
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\).
**3 pkt** – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\) oraz obliczenie \(q\): \(q=4\)
ALBO
– zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,\,y,\,z)\) jest rosnący, więc \(x\ne 0\), oraz zapisanie równania \(q^{2}-5q+4=0\).
**2 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,\,y,\,z)\) jest rosnący, więc \(x\ne 0\) i \(q\ne 1\), oraz obliczenie \(q\): \(q=4\)
ALBO
– zapisanie równań \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) oraz \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\).
**1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) lub \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwagi:**
1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. \(\frac{a_{1}+a_{1}+5r}{2}\cdot 6=105\), \(y-x=4\cdot(z-y)\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie \(x\), \(y\) oraz \(z\)).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu arytmetycznego;
5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu geometrycznego.
