Zadanie 10 – matura z matematyki maj 2024, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{\frac\pi6,\frac\pi4,\frac{5\pi}6,\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}4,\frac{11\pi}6\right\}.\]

Korzystamy ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta: \[\sin(4x)-\sin(2x)=\sin(2x)(2\cos(2x)-1),\] a także \[4\cos^2x-3=2\cos(2x)-1.\] Równanie jest więc równoważne \[(\sin(2x)-1)(2\cos(2x)-1)=0.\] Zatem \[\sin(2x)=1\qquad\text{lub}\qquad\cos(2x)=\frac12.\] W zbiorze \([0,2\pi]\) pierwsze równanie daje \(x=\frac\pi4,\frac{5\pi}4\), a drugie \[x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6.\] Łącznie otrzymujemy sześć wartości podanych w odpowiedzi.

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny zbiór sześciu rozwiązań **4 pkt** – zapisanie alternatywy \(\sin(2x)=1\) lub \(\cos(2x)=\frac12\) i poprawne rozwiązanie jednego równania oraz częściowe rozwiązanie drugiego **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci \((\sin(2x)-1)(2\cos(2x)-1)=0\) **2 pkt** – poprawne istotne przekształcenia prowadzące do iloczynu dwóch czynników **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus lub cosinus podwojonego kąta albo równoważny istotny krok **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż przykładowe \(4\cos2x\cos5x=2\cos7x+1\).