Okręgi i koła
Zadanie 11, maj 2024, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych środek S okręgu o promieniu \(\sqrt{5}\) leży na prostej \(y=x+1\). Z punktu \(A=(1{,}2)\), którego odległość od S jest większa od \(\sqrt{5}\), poprowadzono styczne do okręgu w punktach B i C. Pole czworokąta ABSC jest równe \(15\). Oblicz współrzędne punktu S. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: \(A=(1,2)\) — para współrzędnych, nie liczba \(1{,}2\).
w zapisie zastanym współrzędne rozdzielono makrem \(\{,\}\); wynik podany w kluczu (\(S=(6,7)\) albo \(S=(-4,-3)\)) wychodzi tylko dla punktu \((1,2)\).Odpowiedź
\(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\). Z pola dwóch przystających trójkątów prostokątnych otrzymujemy \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert=3\sqrt5\), a z twierdzenia Pitagorasa \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\). Dla \(S=(s,s+1)\) daje to równanie \(2(s-1)^{2}=50\), czyli \(s=6\) lub \(s=-4\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: czworokąt \(ABSC\) składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. Z jego pola wyznaczymy długość stycznej, z twierdzenia Pitagorasa — długość \(\lvert AS\rvert\), a stąd współrzędne \(S\).
**Krok \(2\).** Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \(SB\perp AB\) oraz \(SC\perp AC\). Trójkąty \(ABS\) i \(ACS\) są zatem prostokątne (kąt prosty przy \(B\) i przy \(C\)).
**Krok \(3\).** Trójkąty te mają wspólną przeciwprostokątną \(AS\) i równe przyprostokątne \(\lvert BS\rvert=\lvert CS\rvert=\sqrt5\), więc są przystające. Oznaczmy \(t=\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert\).
**Krok \(4\).** Zapisujemy pole czworokąta jako sumę pól tych trójkątów:
\[15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot t\cdot\sqrt5=t\sqrt5,\qquad\text{zatem}\qquad t=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5.\]
**Krok \(5\).** Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABS\):
\[\lvert AS\rvert^{2}=\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BS\rvert^{2}=\left(3\sqrt5\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=45+5=50,\]
czyli \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\).
**Krok \(6\).** Punkt \(S\) leży na prostej \(y=x+1\), więc \(S=(s,\ s+1)\) dla pewnego \(s\in\mathbb{R}\).
**Krok \(7\).** Zapisujemy warunek \(\lvert AS\rvert^{2}=50\) dla \(A=(1,2)\):
\[(s-1)^{2}+(s+1-2)^{2}=50,\qquad 2(s-1)^{2}=50,\qquad (s-1)^{2}=25.\]
**Krok \(8\).** Stąd \(\lvert s-1\rvert=5\), czyli \(s=6\) lub \(s=-4\), a więc
\[S=(6,7)\qquad\text{lub}\qquad S=(-4,-3).\]
Oba punkty spełniają warunek \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\gt\sqrt5\), więc oba są dobre.
**Uwaga.** Zadanie wyraźnie prosi o rozważenie wszystkich przypadków: równanie \((s-1)^{2}=25\) ma dwa rozwiązania i oba dają poprawne położenie środka okręgu, po dwóch stronach punktu \(A\).
**Odpowiedź.** \(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(S=(6,\,7)\) oraz \(S=(-4,\,-3)\).
**4 pkt** – obliczenie obydwu wartości \(x_{S}\): \(6\) oraz \((-4)\)
ALBO
– obliczenie obydwu współrzędnych punktu \(S\) tylko dla jednego przypadku: \(S=(6,\,7)\) albo \(S=(-4,\,-3)\).
**3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \(S\)), np. \((x_{S}-1)^{2}+(x_{S}+1-2)^{2}=50\), \(\frac{\lvert 2x_{S}-(x_{S}+1)\rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}\), \((x_{S}-(-5))^{2}+(x_{S}+1-(-1))^{2}=5\), \((x_{S}-(-2))^{2}+(x_{S}+1-(-4))^{2}=5\), \((x_{S}-4)^{2}+(x_{S}+1-8)^{2}=5\), \((x_{S}-7)^{2}+(x_{S}+1-5)^{2}=5\).
**2 pkt** – obliczenie długości \(m\) odcinka \(AB\) (lub \(AC\)) stycznej: \(3\sqrt{5}\)
ALBO
– obliczenie długości odcinka \(AS\): \(\lvert AS\rvert=5\sqrt{2}\).
**1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(S\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(S=(x,\,x+1)\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \(m\) odcinka \(AB\) stycznej), np. \(15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot m\cdot\sqrt{5}\),
ALBO
– zapisanie układ trzech równań: \(\lvert z\rvert^{2}=m^{2}+m^{2}-2m\cdot m\cdot\cos\alpha\) oraz \(\lvert z\rvert^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\) oraz \(15=\frac{1}{2}\cdot m^{2}\cdot\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{5})^{2}\cdot\sin(180^\circ-\alpha)\), gdzie \(z=\lvert BC\rvert\), \(m=\lvert AB\rvert\), \(\alpha=\lvert\measuredangle BAC\rvert\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwagi:**
1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \(\frac{1}{2}\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.
2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \(S\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
IX.5) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.
IX.R1) Zdający posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie […].
