Trójkąty
Zadanie 9, maj 2024, poziom rozszerzony
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(a\). Punkt \(E\) jest środkiem boku \(CD\). Przekątna \(BD\) dzieli trójkąt \(ACE\) na dwie figury: \(AGF\) oraz \(CEFG\) (zobacz rysunek).
**Oblicz pola figur \(AGF\) oraz \(CEFG\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P_{AGF}=\frac{a^2}{12},\qquad P_{CEFG}=\frac{a^2}{6}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Umieszczamy kwadrat w układzie współrzędnych:
\[A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad C=(a,a),\quad D=(0,a),\quad E=\left(\frac a2,a\right).\]
Proste \(AE\), \(AC\) i \(BD\) mają równania
\[y=2x,\qquad y=x,\qquad y=-x+a.\]
Stąd
\[F=AE\cap BD=\left(\frac a3,\frac{2a}3\right),\qquad G=AC\cap BD=\left(\frac a2,\frac a2\right).\]
Pole trójkąta \(AGF\) obliczamy z wyznacznika:
\[P_{AGF}=\frac12\left|\frac a2\cdot\frac{2a}3-\frac a2\cdot\frac a3\right|=\frac{a^2}{12}.\]
Pole trójkąta \(ACE\) jest równe
\[P_{ACE}=\frac12\cdot\frac a2\cdot a=\frac{a^2}{4}.\]
Zatem
\[P_{CEFG}=P_{ACE}-P_{AGF}=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{12}=\frac{a^2}{6}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(P_{AGF}=\frac1{12}a^2\) i \(P_{CEFG}=\frac16a^2\)
**3 pkt** – obliczenie pola jednej z figur
**2 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(E\) i \(F\), odpowiednich długości odcinków albo zapisanie poprawnego układu zależności między polami
**1 pkt** – umieszczenie kwadratu w układzie współrzędnych i wyznaczenie równań prostych \(AE\) i \(BD\), uzasadnienie właściwego stosunku podziału albo równoważny istotny krok
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.7) Zdający stosuje twierdzenia Talesa i o dwusiecznej kąta.
