Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 6, maj 2023, poziom rozszerzony
**Rozwiąż równanie**
\[4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)+1.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=\frac{7\pi}{12}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{11\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa:
\[2\sin(4x)\cos(6x)=\sin(10x)-\sin(2x).\]
Zatem
\[4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)-2\sin(2x).\]
Równanie przyjmuje postać
\[2\sin(10x)-2\sin(2x)=2\sin(10x)+1,\]
\[-2\sin(2x)=1,\]
\[\sin(2x)=-\frac12.\]
Stąd
\[2x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad2x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Po podzieleniu przez \(2\):
\[x=\frac{7\pi}{12}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{11\pi}{12}+k\pi.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i obie rodziny rozwiązań
**2 pkt** – przekształcenie do \(\sin(2x)=-\frac12\) albo \(\sin(-2x)=\frac12\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sinus sumy/różnicy albo na sumę/różnicę sinusów prowadzące do uproszczenia równania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładzie \(4\cos2x\cos5x=2\cos7x+1\).
