Trójkąty
Zadanie 5, maj 2023, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90^\circ\) oraz \(|\angle CAB|=60^\circ\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach - odpowiednio - \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
**Wykaż, że \(|ND|=\sqrt3+1\).**
Odpowiedź
\[|ND|=\sqrt3+1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(DAB\) ma kąty \(90^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\). Ponieważ \(|AD|=2\), mamy
\[|AB|=4,\qquad |BD|=2\sqrt3.\]
W trójkącie \(BLN\) kąt \(NBL\) ma miarę \(60^\circ\), a w trójkącie \(KBN\) kąt \(KBN\) ma miarę \(30^\circ\). Pole trójkąta \(KBL\), równe \(\frac12\), jest sumą pól trójkątów \(BLN\) i \(KBN\):
\[\frac12\cdot1\cdot|BN|\sin60^\circ+\frac12\cdot|BN|\cdot1\cdot\sin30^\circ=\frac12.\]
Stąd
\[|BN|\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\right)=1,\]
\[|BN|=\frac2{\sqrt3+1}=\sqrt3-1.\]
Zatem
\[|ND|=|BD|-|BN|=2\sqrt3-(\sqrt3-1)=\sqrt3+1.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(|ND|=\sqrt3+1\)
**2 pkt** – obliczenie \(|BN|=\sqrt3-1\), albo obliczenie \(|BD|=2\sqrt3\) i zapisanie równania prowadzącego do \(|BN|\), albo inne równoważne kryterium CKE
**1 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do \(|BN|\), albo obliczenie \(|BD|=2\sqrt3\), albo równoważny poprawny etap
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Przybliżenia dziesiętne nie są akceptowane
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.R3) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
