Graniastosłupy
Zadanie 7, maj 2023, poziom rozszerzony
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(6\). Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych \(AH\) i \(DE\) ściany bocznej \(ADHE\) (zobacz rysunek).
**Oblicz wysokość trójkąta \(SBH\) poprowadzoną z punktu \(S\) na bok \(BH\) tego trójkąta. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[|SP|=\sqrt6,\]
gdzie \(P\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z \(S\) na \(BH\).
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(S\) jest środkiem przekątnych kwadratowej ściany \(ADHE\), więc
\[|HS|=\frac12|HA|=3\sqrt2.\]
W sześcianie o krawędzi \(6\):
\[|AB|=6,\qquad |AH|=6\sqrt2,\qquad |BH|=6\sqrt3.\]
Niech \(P\) będzie spodkiem wysokości trójkąta \(SBH\) poprowadzonej z \(S\). Trójkąty prostokątne \(PHS\) i \(AHB\) są podobne, więc
\[\frac{|SP|}{|AB|}=\frac{|SH|}{|BH|}.\]
Zatem
\[\frac{|SP|}{6}=\frac{3\sqrt2}{6\sqrt3},\]
\[|SP|=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt6.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(\sqrt6\)
**3 pkt** – zapisanie równania z niewiadomą \(|SP|\), np. \(\frac{|SP|}{6}=\frac{3\sqrt2}{6\sqrt3}\)
**2 pkt** – obliczenie boków trójkąta \(HSB\), zapisanie właściwej proporcji podobieństwa albo równoważnego etapu prowadzącego do wysokości
**1 pkt** – obliczenie jednego z odcinków \(|BH|=6\sqrt3\), \(|HS|=3\sqrt2\), \(|BS|=3\sqrt6\) lub odpowiedniego odcinka pomocniczego
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
X.1) Zdający rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się. X.R5) Zdający wyznacza przekroje sześcianu.
