Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 13, maj 2023, poziom rozszerzony
Czworokąt \(ABCD\), w którym \(\lvert BC\rvert=4\) i \(\lvert CD\rvert=5\), jest opisany na okręgu. Przekątna \(AC\) tego czworokąta tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(60^\circ\), natomiast z bokiem \(AB\) kąt ostry, którego sinus jest równy \(\frac{1}{4}\). Oblicz obwód czworokąta \(ABCD\).
Odpowiedź
\[Ob_{ABCD}=16\sqrt3+10.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle BAC\rvert\); z treści \(\sin\alpha=\tfrac14\) oraz \(\lvert\angle ACB\rvert=60^\circ\).
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) leży naprzeciw kąta \(ACB\), a bok \(BC\) naprzeciw kąta \(BAC\), więc z twierdzenia sinusów
\[\frac{\lvert AB\rvert}{\sin 60^\circ}=\frac{\lvert BC\rvert}{\sin\alpha},\qquad \lvert AB\rvert=\frac{4\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}}{\tfrac14}=8\sqrt3.\]
Czworokąt jest opisany na okręgu, więc sumy długości przeciwległych boków są równe:
\[\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert=\lvert BC\rvert+\lvert AD\rvert,\qquad \lvert AD\rvert=8\sqrt3+5-4=8\sqrt3+1.\]
Obwód wynosi
\[Ob=\lvert AB\rvert+\lvert BC\rvert+\lvert CD\rvert+\lvert AD\rvert=8\sqrt3+4+5+8\sqrt3+1=16\sqrt3+10.\]
**Odpowiedź.** \(Ob_{ABCD}=16\sqrt3+10\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(16\sqrt{3}+10\).
**3 pkt** – obliczenie długości boku \(AB\): \(\lvert AB\rvert=8\sqrt{3}\) i zapisanie \(Ob_{ABCD}=2\cdot(\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert)\)
ALBO
– obliczenie długości boku \(AB\): \(\lvert AB\rvert=8\sqrt{3}\) i zapisanie równania \(8\sqrt{3}+5=4+\lvert AD\rvert\).
**2 pkt** – obliczenie długości boku \(AB\): \(8\sqrt{3}\)
ALBO
– zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,
ALBO
– zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,
ALBO
– zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt.
**1 pkt** – zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4):
1) \(\frac{\lvert AB\rvert}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\frac{1}{4}}\) lub \(\frac{1}{4}=\frac{2\sqrt{3}}{\lvert AB\rvert}\),
2) \(\frac{1}{2}\cdot 4\cdot\lvert AC\rvert\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\lvert AC\rvert\cdot\lvert AB\rvert\cdot\frac{1}{4}\),
3) \(Ob_{ABCD}=2\cdot(\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert)\),
4) \(\lvert AB\rvert+5=4+\lvert AD\rvert\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(x\) (długością boku \(AB\)), np. \(x^{2}=16+\left(2+\frac{x\sqrt{15}}{4}\right)^{2}-4\left(2+\frac{x\sqrt{15}}{4}\right)\), \(16=\left(2+\frac{\sqrt{15}}{4}x\right)^{2}+x^{2}-\frac{\sqrt{15}}{2}\cdot\left(2+\frac{\sqrt{15}}{4}x\right)x\) (z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(ABC\) i dwóch kątów tego trójkąta).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.1) Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu.
