Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 12, maj 2022, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie**
\[x^2-(m+1)x+m=0\]
**ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki**
\[x_1\ne0,\qquad x_2\ne0\qquad\text{oraz}\qquad\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+2=\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}.\]
Odpowiedź
\[m\in\left\{-1,\frac12\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=m+1,\qquad x_1x_2=m.\]
Niezerowość pierwiastków wymaga \(m\ne0\), a ich różność: \(\Delta=(m-1)^2>0\), czyli \(m\ne1\). Warunek z zadania zapisujemy jako
\[\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+2=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}.\]
Po podstawieniu wzorów Viète'a i pomnożeniu przez \(m^2\) otrzymujemy
\[m(m+1)+2m^2=(m+1)^2-2m,\]
\[2m^2+m-1=0,\]
\[(2m-1)(m+1)=0.\]
Zatem \(m=\frac12\) lub \(m=-1\). Obie wartości spełniają warunki \(m\ne0\) i \(m\ne1\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie obu wartości parametru wraz ze sprawdzeniem warunków
**4 pkt** – otrzymanie równania \(2m^2+m-1=0\) i obu wartości, z niepełną weryfikacją
**3 pkt** – poprawne przekształcenie warunku przy użyciu wzorów Viète'a
**2 pkt** – zapisanie sumy i iloczynu pierwiastków oraz warunków \(m\ne0,1\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie co najmniej jednego wzoru Viète'a
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III i IV modelowanie matematyczne oraz użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.1 i R3.2 stosowanie wzorów Viète'a oraz rozwiązywanie równań kwadratowych z parametrem.
