Zadanie 12 – matura z matematyki maj 2021, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{12}\right\}.\]

Prawą stronę zapisujemy jako cosinus sumy: \[\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=\cos x\cos\tfrac{\pi}{4}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right).\] Równanie przyjmuje więc postać \(\cos(2x)=\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\), co jest równoważne alternatywie \[2x=x+\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\qquad\text{lub}\qquad 2x=-\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)+2k\pi.\] Z pierwszej serii \(x=\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\), z drugiej \(3x=-\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\), czyli \(x=-\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{2k\pi}{3}\). W przedziale \(\langle0,\pi\rangle\) pierwsza seria daje \(x=\tfrac{\pi}{4}\), a druga (dla \(k=1\)) \(x=-\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{7\pi}{12}\). Pozostałe wartości leżą poza przedziałem. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{7\pi}{12}\right\}\).

**1 pkt** – gdy: • zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ALBO • zastosuje wzór na cosinus podwojonego argumentu i zapisze równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) w postaci \((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) ALBO • zapisze równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) w postaci \(\cos 2x=\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{4}-\sin x\cdot\sin\frac{\pi}{4}\) lub \(\cos 2x=\cos x\cdot\sin\frac{\pi}{4}-\sin x\cdot\cos\frac{\pi}{4}\) **2 pkt** – gdy: • zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) i spełni jeden z poniższych warunków: 1) rozwiąże równanie \(\cos x-\sin x=0\): \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=\frac{\pi}{4}\), 2) przekształci równanie \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) do postaci \(\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2}\), 3) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań \(\begin{cases}\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1\end{cases}\) i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna zmiennej \(x\): \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\right)^{2}+\cos^{2}x=1\) lub \(\sin^{2}x+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\right)^{2}=1\) lub \(2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{1}{2}=0\) lub \(2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x-\frac{1}{2}=0\) ALBO • przekształci równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) do postaci \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) **3 pkt** – gdy: • rozwiąże równanie \(\cos x-\sin x=0\): \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=\frac{\pi}{4}\) oraz spełni jeden z poniższych warunków: 1) przekształci równanie \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) do postaci \(\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2}\) 2) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań \(\begin{cases}\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1\end{cases}\) i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna zmiennej \(x\): \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\right)^{2}+\cos^{2}x=1\) lub \(\sin^{2}x+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\right)^{2}=1\) lub \(2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{1}{2}=0\) lub \(2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x-\frac{1}{2}=0\) ALBO • zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz zapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) lub \(\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą ALBO • zapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\): \(2x=x+\frac{\pi}{4}+2k\pi\) lub \(2x=-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału), albo zapisze poprawnie jedno rozwiązanie w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\) lub \(\frac{7\pi}{12}\) ALBO • zastosuje wzór na różnicę cosinusów i przekształci równanie \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) do postaci: \(-2\sin\left(\frac{2x+x+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{2x-x-\frac{\pi}{4}}{2}\right)=0\) **4 pkt** – gdy: • rozwiąże równanie \(\cos x-\sin x=0\) w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\) i spełni jeden z poniższych warunków: 1) rozwiąże równanie \(\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2}\) i poda dwie serie rozwiązań: \(\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) oraz \(\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału) 2) przekształci równanie \(2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x-\frac{1}{2}=0\) do alternatywy: \(\sin x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\) lub \(\sin x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) ALBO przekształci równanie \(2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{1}{2}=0\) do alternatywy: \(\cos x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\) lub \(\cos x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) ALBO • zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równania \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\): \(2x=x+\frac{\pi}{4}+2k\pi\) oraz \(2x=-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału) ALBO • rozwiąże równanie \(\sin\left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{8}\right)=0\) w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{7\pi}{12}\) ALBO • rozwiąże równanie \(\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{8}\right)=0\) w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\) ALBO • zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równań \(\sin\left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{8}\right)=0\) i \(\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{8}\right)=0\): \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi\) oraz \(x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą **5 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) i poda prawidłowe rozwiązania w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{12}\). **Uwagi:** 1. Jeśli zdający zapisze równanie \((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) i podzieli obie strony równania przez \(\cos x-\sin x\) (bez rozstrzygania sytuacji, gdy \(\cos x=\sin x\)), otrzyma równanie \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) i doprowadzi rozwiązanie do końca, to traktujemy to jako błąd merytoryczny, nie przekreślający całości rozwiązania i zdający może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest błąd przy przepisywaniu wzoru trygonometrycznego, np. zapisuje sinus sumy argumentów zamiast sinusa ich różnicy, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozwiązując jedno z otrzymanych równań, stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony równania \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) do kwadratu i nie odrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne […].