Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 13, maj 2021, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(ABC\), który ma większą miarę.
Odpowiedź
Sinus większego kąta ostrego jest równy \(\frac45\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy długości przyprostokątnych przez \(a\) i \(b\), długość przeciwprostokątnej przez \(c\), a promień okręgu wpisanego przez \(r\). Dla trójkąta prostokątnego
\[r=\frac{a+b-c}{2}.\]
Z warunku \(r=\frac c5\) wynika
\[a+b=\frac75c.\]
Ponadto \(a^2+b^2=c^2\). Po podstawieniu \(b=\frac75c-a\) otrzymujemy
\[25a^2-35ac+12c^2=0,\]
stąd
\[a=\frac35c\quad\text{lub}\quad a=\frac45c.\]
Przyprostokątne mają więc długości \(\frac35c\) i \(\frac45c\). Większy kąt ostry leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej, zatem jego sinus wynosi
\[\frac{\frac45c}{c}=\frac45.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac45\)
**3 pkt** – wyznaczenie stosunku przyprostokątnych do przeciwprostokątnej: \(3/5\) i \(4/5\), albo równoważnego związku trygonometrycznego
**2 pkt** – zapisanie równania kwadratowego wynikającego z warunku na promień i twierdzenia Pitagorasa albo równoważnego równania trygonometrycznego
**1 pkt** – zapisanie zależności \(\frac{a+b-c}{2}=\frac c5\) albo równoważnego związku
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.4 znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, w szczególności między bokami trójkąta prostokątnego i promieniem okręgu wpisanego.
