Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 11, maj 2021, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian \(4x^{2}-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_{1},x_{2}\) spełniające \(x_{1} \neq 0, x_{2} \neq 0\) oraz \(x_{1}+x_{2} \leq \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\).
Odpowiedź
\(m\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,4]\). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(m\neq 1\), a ich niezerowość \(m\neq 0\). Ze wzorów Viète'a nierówność sprowadza się do \(m(m+1)(m-4)\leq 0\), czyli \(m\in(-\infty,-1]\cup(0,4]\); część wspólna warunków daje wynik.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: zadanie rozbijamy na trzy warunki — istnienie dwóch różnych pierwiastków (\(\Delta\gt 0\)), sensowność wyrażeń \(\frac{1}{x_{1}},\frac{1}{x_{2}}\) (iloczyn pierwiastków różny od zera) oraz samą nierówność, którą przepiszemy przez wzory Viète'a.
**Krok \(2\).** Dla trójmianu \(4x^{2}-2(m+1)x+m\) mamy
\[\Delta=\left[-2(m+1)\right]^{2}-4\cdot 4\cdot m=4\left(m^{2}-2m+1\right)=4(m-1)^{2}.\]
Warunek \(\Delta\gt 0\) jest równoważny \(m\neq 1\).
**Krok \(3\).** Ze wzorów Viète'a
\[x_{1}+x_{2}=\frac{2(m+1)}{4}=\frac{m+1}{2},\qquad x_{1}\cdot x_{2}=\frac{m}{4}.\]
Warunek \(x_{1}\neq 0\) i \(x_{2}\neq 0\) oznacza \(x_{1}x_{2}\neq 0\), czyli \(m\neq 0\).
**Krok \(4\).** Prawą stronę nierówności sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\[\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}},\]
więc warunek zadania to \(x_{1}+x_{2}\leq \dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\).
**Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę i wyłączamy wspólny czynnik:
\[(x_{1}+x_{2})\left(1-\frac{1}{x_{1}x_{2}}\right)\leq 0,\qquad \frac{(x_{1}+x_{2})\left(x_{1}x_{2}-1\right)}{x_{1}x_{2}}\leq 0.\]
**Krok \(6\).** Podstawiamy wartości z Kroku \(3\). Ponieważ \(x_{1}x_{2}-1=\frac{m}{4}-1=\frac{m-4}{4}\), otrzymujemy
\[\frac{\frac{m+1}{2}\cdot\frac{m-4}{4}}{\frac{m}{4}}\leq 0,\qquad \frac{(m+1)(m-4)}{2m}\leq 0.\]
**Krok \(7\).** Mnożymy obie strony przez \(2m^{2}\gt 0\) (znak nierówności się nie zmienia) i pamiętamy o \(m\neq 0\):
\[m(m+1)(m-4)\leq 0\quad\text{oraz}\quad m\neq 0.\]
Miejscami zerowymi są \(-1\), \(0\), \(4\), a wielomian trzeciego stopnia o dodatnim współczynniku wiodącym jest niedodatni na \((-\infty,-1]\) i na \([0,4]\). Po usunięciu \(m=0\) dostajemy \(m\in(-\infty,-1]\cup(0,4]\).
**Krok \(8\).** Bierzemy część wspólną z warunkiem \(m\neq 1\):
\[m\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,4].\]
**Uwaga.** Nie wolno pomnożyć nierówności \(x_{1}+x_{2}\leq \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\) stronami przez \(x_{1}x_{2}\) ani podzielić przez \(x_{1}+x_{2}\), bo nie znamy znaku tych wyrażeń. Dlatego przenosimy wszystko na jedną stronę i mnożymy dopiero przez kwadrat, który na pewno jest dodatni.
**Odpowiedź.** \(m\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,4]\).
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności \(\Delta>0\): \(m\ne 1\). Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
**Uwaga do pierwszego etapu:** Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność \(\Delta\ge 0\), to za pierwszy etap otrzymuje \(0\) punktów.
Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności \(x_{1}+x_{2}\le\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\). Za poprawne rozwiązanie drugiego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
**1 pkt** – zdający otrzymuje, gdy:
• przekształci nierówność \(x_{1}+x_{2}\le\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) do postaci \(x_{1}+x_{2}\le\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}\) lub \((x_{1}+x_{2})\cdot(x_{1}x_{2})^{2}\le(x_{1}+x_{2})x_{1}x_{2}\)
ALBO
• wyznaczy pierwiastki trójmianu \(4x^{2}-2(m+1)x+m\): \(x_{1}=\frac{1}{2}\), \(x_{2}=\frac{m}{2}\).
**2 pkt** – zdający otrzymuje, gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą \(m\): \(\frac{2(m+1)}{4}\le\frac{\frac{2(m+1)}{4}}{\frac{m}{4}}\) lub \(\frac{1}{2}+\frac{m}{2}\le 2+\frac{2}{m}\) lub \(\frac{2(m+1)}{4}\cdot\left(\frac{m}{4}\right)^{2}\le\frac{2(m+1)}{4}\cdot\frac{m}{4}\)
**3 pkt** – zdający otrzymuje, gdy rozwiąże nierówność \(\frac{2(m+1)}{4}\le\frac{\frac{2(m+1)}{4}}{\frac{m}{4}}\): \(m\in(-\infty,\,-1\rangle\cup(0,\,4\rangle\).
**Uwagi do drugiego etapu:**
1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność \(\frac{2(m+1)}{4}\le\frac{\frac{2(m+1)}{4}}{\frac{m}{4}}\), nie uwzględni warunku \(m\ne 0\), to za drugi etap może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty.
2. Jeżeli zdający:
• mnoży nierówność \(x_{1}+x_{2}\le\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) stronami przez iloczyn \(x_{1}\cdot x_{2}\) bez rozpatrzenia znaku tego iloczynu
ALBO
• dzieli nierówność \(x_{1}+x_{2}\le\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}\) stronami przez sumę \(x_{1}+x_{2}\) bez rozpatrzenia znaku tej sumy
to za drugi etap może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanych wartości parametru \(m\): \(m\in(-\infty,\,-1\rangle\cup(0,\,1)\cup(1,\,4\rangle\). Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
**Uwagi do trzeciego etapu:**
1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe w etapach I i II (nie otrzymując pustego zbioru rozwiązań ani zbioru \(\mathbb{R}\) wszystkich liczb rzeczywistych), lecz konsekwentnie wyznaczy iloczyn w etapie III, to za III etap otrzymuje \(1\) punkt.
2. Zdający może otrzymać \(1\) punkt za III etap, jeżeli jedynymi błędami jakie popełni w I i II etapie są błędy rachunkowe.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2021**
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.1) Zdający stosuje wzory Viète’a;
R3.2) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;
R3.7) Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne […].
