Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, maj 2019, poziom rozszerzony
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa \(2\). Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa, dla których jego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Odpowiedź
Krawędź podstawy ma długość \(a=2\), a wysokość graniastosłupa
\[h=\frac{2\sqrt3}{3}.\]
Najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi
\[P_{\min}=6\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a>0\) oznacza długość krawędzi podstawy, a \(h>0\) wysokość graniastosłupa. Z warunku objętości
\[\frac{a^2\sqrt3}{4}h=2\]\nwynika
\[h=\frac8{a^2\sqrt3}.\]
Pole powierzchni całkowitej jest równe
\[P(a)=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{a},\qquad a>0.\]
Pochodna ma postać
\[P'(a)=\sqrt3a-\frac{8\sqrt3}{a^2}=\frac{\sqrt3(a^3-8)}{a^2}.\]
Jedyny punkt krytyczny w dziedzinie to \(a=2\). Pochodna jest ujemna dla \(0<a<2\) i dodatnia dla \(a>2\), więc funkcja osiąga tam minimum. Wówczas
\[h=\frac8{4\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\]\noraz
\[P(2)=\frac{4\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{2}=6\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – wyznaczenie \(a=2\), \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\) i \(P_{\min}=6\sqrt3\) wraz z uzasadnieniem minimum
**6 pkt** – poprawne wyznaczenie minimum funkcji pola i prawie pełne zakończenie obliczeń
**4: 5 pkt** – poprawna funkcja pola z dziedziną oraz częściowe lub pełne badanie jej minimum
**3 pkt** – wyznaczenie \(h=\frac8{a^2\sqrt3}\), zapisanie \(P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{a}\) i dziedziny \(a>0\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnej funkcji pola po eliminacji jednej zmiennej
**1 pkt** – poprawne wykorzystanie warunku objętości albo zapisanie wzoru na pole powierzchni
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
11 zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności i wyznaczania ekstremów funkcji w zadaniach optymalizacyjnych.
