![Rozwiązanie zadania 11, matura z matematyki maj 2018, poziom rozszerzony: Rozwiąż równanie sin6x+cos3x=2sin3x+1 w przedziale [0,π ]. Odpowiedź: x∈ \0,7π/18,11π/18,2π/3 \](rozwiazanie.webp)
Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 11, maj 2018, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\sin6x+\cos3x=2\sin3x+1\]
w przedziale \(\left[0,\pi\right]\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{0,\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18},\frac{2\pi}{3}\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru \(\sin6x=2\sin3x\cos3x\):
\[2\sin3x\cos3x+\cos3x=2\sin3x+1,\]
\[(2\sin3x+1)(\cos3x-1)=0.\]
Stąd
\[\sin3x=-\frac12\qquad\text{lub}\qquad\cos3x=1.\]
Dla \(x\in[0,\pi]\) mamy \(3x\in[0,3\pi]\). Pierwsze równanie daje \(3x=\frac{7\pi}{6}\) lub \(3x=\frac{11\pi}{6}\), a drugie \(3x=0\) lub \(3x=2\pi\). Zatem
\[x\in\left\{0,\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18},\frac{2\pi}{3}\right\}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – podanie wszystkich czterech rozwiązań w przedziale \([0,\pi]\)
**3 pkt** – zapisanie pełnych serii rozwiązań równań \(\sin3x=-\frac12\) i \(\cos3x=1\) albo poprawne rozwiązanie jednego z nich w zadanym przedziale
**2 pkt** – otrzymanie dwóch równań \(\sin3x=-\frac12\) oraz \(\cos3x=1\)
**1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus kąta podwojonego i zapisanie \(2\sin3x\cos3x+\cos3x=2\sin3x+1\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.5 zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.
R6.6 zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne.
