Zadanie 12 – matura z matematyki maj 2018, poziom rozszerzony

\(m\in(-\infty,-3)\cup\left(\frac35,\frac34\right)\). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(\Delta=5m^2+2m-3\gt0\), czyli \(m\lt-1\) lub \(m\gt\frac35\). Ze wzorów Viète’a nierówność \(x_1^3+x_2^3\gt-7x_1x_2\) sprowadza się do \((m+3)(m+1)(4m-3)\lt0\), czyli \(m\in(-\infty,-3)\cup\left(-1,\frac34\right)\). Część wspólna obu warunków daje wynik.

**Krok \(1\).** Warunek z treści dotyczy wyrażenia symetrycznego względem pierwiastków, więc nie liczymy pierwiastków — używamy wzorów Viète’a i wzoru na sumę sześcianów. Do tego dochodzi warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków, czyli \(\Delta\gt0\). Na koniec bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Wyróżnik równania \(x^2+(m+1)x-m^2+1=0\): \[\Delta=(m+1)^2-4\left(-m^2+1\right)=m^2+2m+1+4m^2-4=5m^2+2m-3.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy \(5m^2+2m-3\gt0\): \[\Delta_m=2^2-4\cdot5\cdot(-3)=64,\qquad m=\frac{-2\pm8}{10},\] czyli miejsca zerowe to \(-1\) i \(\frac35\), a nierówność zachodzi dla \(m\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac35,+\infty\right)\). **Krok \(4\).** Wzory Viète’a (tu \(a=1\)): \[x_1+x_2=-(m+1),\qquad x_1x_2=-m^2+1=1-m^2.\] **Krok \(5\).** Sumę sześcianów zapisujemy przez sumę i iloczyn: \[x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right).\] **Krok \(6\).** Nierówność \(x_1^3+x_2^3\gt-7x_1x_2\) przenosimy na jedną stronę: \[\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+7x_1x_2\gt0.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy wzory Viète’a: \[-(m+1)^3-3\left(1-m^2\right)\cdot\left(-(m+1)\right)+7\left(1-m^2\right)\gt0,\] \[-(m+1)^3+3(m+1)\left(1-m^2\right)+7\left(1-m^2\right)\gt0.\] **Krok \(8\).** Korzystamy z \(1-m^2=-(m+1)(m-1)\) i wyłączamy \((m+1)\) przed nawias: \[(m+1)\left[-(m+1)^2-3(m+1)(m-1)-7(m-1)\right]\gt0,\] a po uporządkowaniu nawiasu: \[-(m^2+2m+1)-3(m^2-1)-7m+7=-4m^2-9m+9,\] więc nierówność ma postać \((m+1)\left(-4m^2-9m+9\right)\gt0\), czyli \((m+1)\left(4m^2+9m-9\right)\lt0\). **Krok \(9\).** Rozkładamy trójmian: \(\Delta=81+144=225\), pierwiastki \(\frac{-9\pm15}{8}\), czyli \(-3\) i \(\frac34\). Zatem \(4m^2+9m-9=(m+3)(4m-3)\) i nierówność przyjmuje postać \[(m+3)(m+1)(4m-3)\lt0.\] **Krok \(10\).** Wielomian stopnia trzeciego o dodatnim współczynniku wiodącym i pierwiastkach \(-3\lt-1\lt\frac34\) jest ujemny na \((-\infty,-3)\) oraz na \(\left(-1,\frac34\right)\). **Krok \(11\).** Bierzemy część wspólną z warunkiem \(\Delta\gt0\): \[\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac35,+\infty\right)\right]\cap\left[(-\infty,-3)\cup\left(-1,\tfrac34\right)\right]=(-\infty,-3)\cup\left(\tfrac35,\tfrac34\right).\] **Uwaga.** Ponieważ \(\frac35=0{,}6\) i \(\frac34=0{,}75\), drugi przedział jest niepusty — warto porównać te ułamki dziesiętnie, żeby go nie odrzucić. Pamiętaj też, że mnożąc nierówność przez \(-1\) odwracamy jej zwrot. **Odpowiedź.** \(m\in(-\infty,-3)\cup\left(\dfrac35,\dfrac34\right)\).

Zadanie 12. (0-6) III. Modelowanie matematyczne. Przykładowe rozwiązanie —1)u 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viëte'a (R3.1). Równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywłste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli A = (m +1)2 +1) > O 5m2 +2m —3 > O Stąd me ( Warunek XI + x23 > —7XlX2 możemy zapisać w postaci równoważnej (XI —x1x2 + x/ ) > —7x1x2, (XI +X2)2 —3XIX2 > —7XlX2 Ze wzorów Vičte'a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy tę nierówność zapisać w postaci: (4 —(m+1)3 +3(m +1) (—m2 +1) + 7 (—1712+1) > O —2m —1 — 3m2 +3+7— 7m) > O (m +1) (—4m2 —9m+9) > O mł = —3 lub a lub — 4) Wyznaczamy część wspólną zbiorów —00, Odpowiedź m e (—00, Schemat punktowania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności A > 0 • Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga -3)u Jeżeli zdający zapisze A 0 , to za tę część otrzymuje O punktów. Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności XI +x2 > —7 XIX2 Za tę część rozwiązama zdający otrzymuje 4 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci: (XI +X2)2 —3XIX2 > —7XlX2 lub równoważnej. 2 punkty zdający otrzymuje za doprowadzenie do nierówności ze zmienną m, np. -( 3 punkty zdający otrzymuje za wyznaczenie miejsc zerowych wielomłanu -( czyli wielomianu —4m3 —13m2 +9 4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie powyższej nierówności. Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m z uwzględnieniem wszystkich warunków. Uwagi l. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako zbioru rozwiązań nierówności przyznajemy O punktów za III etap. 2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z I etapu lub otrzymania w I etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z II etapu, przyznajemy O punktów za III etap. 3. O ile nie zachodzą przypadki z uwag l. i 2. i zdający poprawnie wykona etap I oraz popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II, albo gdy popełma błędy w etapie I i otrzyma co najmniej I punkt za etap II, to za III etap może otrzymać 1 punkt. 4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązama stosuje nieistniejącą zależność: ąsuma sześcianów = sześcian sumy”, prowadzącą do uproszczenia badanego problemu, lub zdający stosuje Inny błędny wzór, prowadzący do uproszczenia badanego problemu, ale otrzyma nierówność wielomianową stopnia trzeciego, uzyska trzy miejsca zerowe i poprawnie rozwiązuje otrzymaną nierówność, to za II etap otrzymuje 1 punkt (za rozwiązanie nierówności). 5. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania otrzyma poprawną nierówność wielomianową stopnia 3. i popełnia błędy rachunkowe w jej rozwiązaniu, to może otrzymać 3 punkty za II etap, o ile wyznaczy 3 różne miejsca zerowe wielomłanu z tej nierówności i konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, zaś w każdym Innym przypadku otrzymuje 2 punkty za ten etap. 6. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa nierówność wielomianową stopnia większego niż 3. lub niepoprawną nierówność stopnia 3. i wyznacza miejsca zerowe w liczbie właściwej dla stopnia wielomianu i otrzymuje przynajmniej 3 miejsca zerowe, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za II etap, o ile konsekwentme rozwiąże nierówność. Jeżeli wieloman w tej nierówności nie ma trzech różnych miejsc zerowych, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za ten etap. 7. Jeżeli zdający przy rozwiązywaniu otrzymanej w II etapie nierówności stopnia co najmnłej 3. popełnia błąd, polegający na niepoprawnym grupowaniu wyrazów, np. z nierówności —4m3 —13m2 +9>0 uzyska —9) > 0, to nie otrzymuje punktów za części 11.3 i 11.4.

III. Modelowanie matematyczne. 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a (R3.1).