Równania kwadratowe
Zadanie 10, maj 2018, poziom rozszerzony
Objętość stożka ściętego wynosi \(V=(\frac{\pi H}{3})(r^{2}\)+rR+\(R^{2})\), gdzie \(r<R\). Dany stożek ścięty ma wysokość \(10\), objętość \(840\pi \) i \(r=6\). Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego bryły do jednej z jej podstaw.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Objętość stożka ściętego wynosi
\[V=\frac{\pi H}{3}\left(r^{2}+rR+R^{2}\right),\]
gdzie \(r<R\). Dany stożek ścięty ma wysokość \(10\), objętość \(840\pi\) i \(r=6\).
Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego bryły do jednej z jej podstaw.
w zapisie zastanym \pi i H skleiły się w nieistniejące polecenie \piH, a nawiasy \(…\) rozcięły wzór na trzy fragmenty; odczyt zgadza się ze standardowym wzorem na objętość stożka ściętego oraz z liczbami użytymi w kluczu CKE (R = 12)Odpowiedź
cos α=\(9\)/√\(106=9\)√\(\frac{106}{106}\). Ze wzoru V=(πH/\(3\))(\(r^{2}\)+rR+\(R^{2}\)), przy H=\(10\), V=\(840\pi \) i r=\(6\), otrzymujemy R=\(12\). Przekrój osiowy jest trapezem o podstawach \(24\) i \(12\) oraz wysokości \(10\). Rzut poziomy przekątnej ma długość \(18\), a przekątna \(2\sqrt{106}\), więc cos α=\(18\)/(\(2\sqrt{106}\)).
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawiamy dane do wzoru na objętość stożka ściętego:
\[840\pi=\frac{\pi\cdot10}{3}\left(6^{2}+6R+R^{2}\right).\]
Dzielimy obie strony przez \(\pi\) i mnożymy przez \(\tfrac{3}{10}\):
\[252=R^{2}+6R+36,\qquad R^{2}+6R-216=0.\]
Wyróżnik \(\Delta=36+864=900\), \(\sqrt{\Delta}=30\), więc
\[R=\frac{-6+30}{2}=12\qquad\text{lub}\qquad R=\frac{-6-30}{2}=-18.\]
Promień jest dodatni, więc \(R=12\) (warunek \(r<R\) jest spełniony).
Przekrojem osiowym stożka ściętego jest trapez równoramienny o podstawach
\(2R=24\) i \(2r=12\) oraz wysokości \(10\). Rzut przekątnej tego trapezu na dłuższą
podstawę ma długość
\[\frac{24}{2}+\frac{12}{2}=18,\]
a sama przekątna
\[d=\sqrt{18^{2}+10^{2}}=\sqrt{424}=2\sqrt{106}.\]
Kąt \(\alpha\) nachylenia przekątnej do dłuższej podstawy spełnia
\[\cos\alpha=\frac{18}{2\sqrt{106}}=\frac{9}{\sqrt{106}}=\frac{9\sqrt{106}}{106}\approx0{,}874.\]
**Odpowiedź.** \(\cos\alpha=\dfrac{9\sqrt{106}}{106}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający wyznaczy promień \(R\) większej podstawy: \(R=12\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający wyznaczy promień \(R\) większej podstawy: \(R=12\) i długość odcinka \(EB\): \(\lvert EB\rvert=18\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający obliczy długość przekątnej trapezu \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{106}\) albo obliczy tangens kąta \(DBE\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
**4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy \(\cos\lvert\sphericalangle DBE\rvert=\frac{9\sqrt{106}}{106}\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w walcach i stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (9.3). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).
