Równania i nierówności
Zadanie 3, maj 2014, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[1+\sin x=\sqrt3\cos x\]
w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\).
Odpowiedź
\[x=\frac{\pi}{6}\quad\text{lub}\quad x=\frac{3\pi}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy \(\sin x\) na prawą stronę i korzystamy ze wzoru redukcyjnego:
\[\sqrt3\cos x-\sin x=1,\]
\[2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1.\]
Zatem
\[\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.\]
Stąd
\[x+\frac{\pi}{6}=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\]
Po ograniczeniu do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy dokładnie dwa rozwiązania:
\[x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – podanie obu rozwiązań i uzasadnienie, że są wszystkimi rozwiązaniami w zadanym przedziale
**3 pkt** – podanie obu poprawnych rozwiązań bez pełnego uzasadnienia kompletności albo jedno rozwiązanie z poprawnym sprawdzeniem
**2 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do równania jednej funkcji trygonometrycznej i zapis rozwiązania ogólnego
**1 pkt** – poprawne przekształcenie do postaci \(\sqrt3\cos x-\sin x=1\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne oraz ogranicza rozwiązania do wskazanego przedziału.
